Aşağıda bir ayrıtı x cm olan bir küpün üzerine bir ayriti

YKS TYT Forum
1
  1. Aşağıda bir ayrıtı x cm olan bir küpün üzerine bir ayriti
    y cm olan bir küp yerleştirilmiştir.
    Bu küplerin birer ayrtları toplamı 6 cm, şeklin hacmi
    ise 90 cm olduğuna göre, x• y çarpimı kaçtır?
    A) 4
    B) 8
    C) 6
    D) 7
    E) 5

Aşağıda bir ayrıtı x cm olan bir küpün üzerine bir ayriti y cm olan bir küp...
Aşağıda bir ayrıtı x cm olan bir küpün üzerine bir ayriti y cm olan bir küp...1024×768 139 KB

2

İki Küpün Hacim ve Ayrıt Özellikleri Kullanılarak x \cdot y Çarpımının Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Küpün Hacmi: V = a^3 (Burada a bir ayrıt uzunluğudur)
  2. İki Küp Toplamı Özdeşliği: x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)
  3. Tam Kare Özdeşliği: x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Bilgileri Denkleme Dökme
Soruda iki küpün birer ayrıtları toplamının 6 \text{ cm} olduğu belirtilmiştir. Bu durumda:
x + y = 6

Şeklin toplam hacmi ise iki küpün hacimlerinin toplamıdır ve 90 \text{ cm}^3 olarak verilmiştir:
x^3 + y^3 = 90

Adım 2 — İki Küp Toplamı Özdeşliğini Uygulama
x^3 + y^3 ifadesini çarpanlarına ayıralım:
x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2) = 90

Burada x + y = 6 değerini yerine yazalım:
6 \cdot (x^2 - xy + y^2) = 90
Her iki tarafı 6’ya böldüğümüzde:
x^2 - xy + y^2 = 15

Adım 3 — x^2 + y^2 İfadesini x+y Cinsinden Yazma
x^2 + y^2 yerine (x + y)^2 - 2xy yazarak denklemi sadece x+y ve xy değişkenlerine bağlı hale getirelim:
((x + y)^2 - 2xy) - xy = 15
(x + y)^2 - 3xy = 15

Adım 4 — x \cdot y Değerini Hesaplama
x + y = 6 bilgisini son denklemde yerine koyalım:
6^2 - 3xy = 15
36 - 3xy = 15
36 - 15 = 3xy
21 = 3xy
xy = 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 7 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Küpün Hacmi

  • Tanım: Bir küpün tüm ayrıtları eşit olduğu için hacmi, bir kenarının küpü alınarak hesaplanır.
  • Bu problemde: Büyük küpün hacmi x^3, küçük küpün hacmi y^3 olarak alınmış ve toplamları kullanılmıştır.

2. Özdeşlikler

  • Tanım: Değişkenlerin her değeri için doğru olan matematiksel ifadelerdir.
  • Bu problemde: İki küp toplamı formülü, karmaşık hacim denklemini daha basit olan ayrıt toplamı ve çarpımı cinsine dönüştürmemizi sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hatalı Üs Alma

  • Yanlış: (x+y)^3 = x^3 + y^3 olduğunu varsaymak.
  • Doğru: (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 şeklindedir.
  • Neden yanlış: Parantez dışındaki kuvvet, içerideki terimlere tek tek dağıtılamaz; arada ek terimler (çarpraz çarpımlar) bulunur.

Bu tür sorularda çarpanlara ayırma formüllerini hatırlamak çözümü oldukça hızlandırır. Benzer şekilde alan üzerinden giden bir soru daha çözmemi ister misin?