Aşağıda bir adanın etrafında tur atarak yarışan A, B ve C yelkenlilerinin yarışın aynı anına ait farklı bilgiler sunan 2 ekran gösterilmiştir.
Ekranda yelkenli rengi kırmızı olanlar, o ânâ kadar katedilen mesafeyi; sarı olanlar ise bu andan itibaren yarış bitimine kadar katedilmesi gereken mesafeyi yarış turu veya mil cinsinden göstermektedir.
Aynı noktadan aynı anda başlayan yarışın bu anında B yelkenlisi en önde olduğuna göre, bu andan itibaren A yelkenlisinin yarışın bitimine kadar kalan yolu kaç mil olabilir?
A) 18
B) 22
C) 23
D) 17
E) 21
Yol-Zaman ve Birinci Dereceden Eşitsizlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Toplam yarış mesafesi, yarışmacının katettiği yol ile kalan yolunun toplamına eşittir (\text{Toplam Yol} = \text{Gidilen Yol} + \text{Kalan Yol}). Aynı noktadan aynı anda başlayan yarışçılardan en önde olan, o âna kadar en fazla yolu katetmiş ve bitiş çizgisine en az kalan mesafesi olan yarışçıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Toplam Yarış Mesafesini ve B Yelkenlisinin Durumunu Bulma
Verilen bilgilere göre kırmızı renk katedilen yolu, sarı renk ise kalan yolu belirtmektedir:
-
- ekranda B (kırmızı): B’nin katettiği yol = 12\text{ mil}
-
- ekranda B (sarı): B’nin bitişe kalan yolu = 18\text{ mil}
Buradan yarışın toplam uzunluğu hesaplanır:
\text{Toplam Mesafe} = 12 + 18 = 30\text{ mil}
Adım 2 — 1 Turun Mil Cinsinden Değer Aralığını Belirleme
1 turun uzunluğuna x mil diyelim. Yarışın bu anında B yelkenlisi en önde olduğuna göre:
-
B’nin katettiği yol, A’nın katettiği yoldan büyüktür:
A yelkenlisi 4 tur attığına göre:4x < 12 \implies x < 3\text{ mil} -
B’nin bitişe kalan yolu, C’nin bitişe kalan yolundan küçüktür (C daha geridedir):
C yelkenlisinin kalan yolu 9 tur olduğuna göre:9x > 18 \implies x > 2\text{ mil}
Buradan 1 turun uzunluğunun aralığı elde edilir:
2 < x < 3
Adım 3 — A Yelkenlisinin Bitişe Kalan Yolunu Hesaplama
A yelkenlisinin katettiği yol 4x mil olduğundan, yarış bitimine kalan yolu 30 - 4x mil olur:
2 < x < 3
-12 < -4x < -8
30 - 12 < 30 - 4x < 30 - 8
18 < \text{A'nın Kalan Yolu} < 22
Elde edilen (18, 22) açık aralığında yer alan seçenek incelendiğinde tek uygun değerin 21 olduğu görülür.
CEVAP: E) 21
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Yarış problemlerinde “en önde olma” durumu iki yönlü eşitsizlik kurdurur: Hem gidilen yolun diğerlerinden fazla olması hem de bitişe kalan mesafenin diğerlerinden az olması gerekir. Uç değerler (18 ve 22) sınırda kaldığı için eşitsizlik aralığına dahil edilmez.