Aşağıda altı eş eşkenar üçgen bölmeden oluşan bir altıgen gösterilmiştir.
Bu altıgenin bölmelerinden art arda gelen her üçünde yazan sayıların toplamı birbirine eşittir.
Buna göre
\frac{a^2 - 6a + b^2 + 3bc - d}{a - b}
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a + 2
B) a - b
C) a - 4
D) a + 4
E) a - 3b
Dairesel Dizilimde Periyodik Toplam ve Özdeşlikler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dairesel bir dizilimde art arda gelen her 3 terimin toplamı birbirine eşitse, dizi 3 periyotludur (x_{n+3} = x_n). İki kare farkı özdeşliği ise x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) bağıntısıyla sadeleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Dairesel Düzende Değişkenleri Belirleme
Altıgendeki üçgen bölmeler saat yönünde sırasıyla 2, a, 8, b, c, d şeklinde sıralanmıştır. Art arda gelen her 3 bölmenin toplamı sabit (S) olduğuna göre:
- 2 + a + 8 = a + 8 + b \implies b = 2
- a + 8 + b = 8 + b + c \implies c = a
- 8 + b + c = b + c + d \implies d = 8
Adım 2 — Bulunan Değerleri İfadede Yerine Yazma ve Sadeleştirme
b = 2, c = a ve d = 8 değerlerini soruda verilen kesirli ifadede yerine koyalım:
\frac{a^2 - 6a + b^2 + 3bc - d}{a - b} = \frac{a^2 - 6a + 2^2 + 3 \cdot 2 \cdot a - 8}{a - 2}
Pay kısmındaki terimleri düzenleyelim:
\frac{a^2 - 6a + 4 + 6a - 8}{a - 2} = \frac{a^2 - 4}{a - 2}
İki kare farkı özdeşliğinden faydalanarak payı çarpanlarına ayıralım:
\frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 2} = a + 2
CEVAP: A) a + 2
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Art arda gelen k adet terimin toplamının eşit olduğu dairesel veya doğrusal dizilimlerde, aralarında k adım bulunan elemanlar daima birbirine eşittir (x_n = x_{n+k}). Bu kural uzun uzun denklem çözmeden bilinmeyenleri saniyeler içinde bulmanızı sağlar.