Aşağıda [-6, 10] aralığında y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
I. f(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan 5 tane tam sayı değeri vardır.
II. f(x) in artan olduğu aralıktaki tam sayıların toplamı 27 dir.
III. x = -6 , x = 3 ve x = 10 apsisli noktalarda fonksiyon maksimum değer alır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve III
E) I, II ve III
Fonksiyon Grafiğinde İşaret, Artan-Azalanlık ve Ekstremum Noktaları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- f(x) < 0: Grafiğin x ekseninin altında kaldığı bölgelerdir (x eksenini kestiği noktalarda f(x)=0 olduğundan bu noktalar dahil edilmez).
- Artan Aralık: x_1 < x_2 iken f(x_1) < f(x_2) oluyorsa (grafiğin yukarı doğru tırmandığı bölgeler).
- Yerel Maksimum Noktaları: Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta, kendi yakın komşuluğundaki en büyük değere ulaştığı tepe ve uygun uç noktalardır. Kapalı aralıklarda uç noktalar da yerel ekstremum (maksimum veya minimum) olabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. Öncülün İncelenmesi (f(x) < 0 olan tam sayılar):
Grafiğin x ekseninin altında (y < 0) kaldığı açık aralıkları belirleyelim:
- Birinci negatif bölge: (-5, -2) aralığı
- İkinci negatif bölge: (5, 9) aralığı
Bu aralıklardaki tam sayı değerleri:
- (-5, -2) aralığında: \{-4, -3\} (2 adet)
- (5, 9) aralığında: \{6, 7, 8\} (3 adet)
Toplam tam sayı adedi:
2 + 3 = 5 \text{ tanedir.}
(I. öncül DOĞRUDUR)
Adım 2 — II. Öncülün İncelenmesi (Artan olduğu aralıklardaki tam sayıların toplamı):
Grafiğin soldan sağa doğru yükseldiği (artan olduğu) kapalı aralıklar:
- Birinci artan aralık: [-4, 3]
- İkinci artan aralık: [7, 10]
Bu aralıklardaki tam sayıların toplamını bulalım:
- [-4, 3] aralığındaki tam sayılar:(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -4
- [7, 10] aralığındaki tam sayılar:7 + 8 + 9 + 10 = 34
Toplam:
-4 + 34 = 30 \ne 27
(II. öncül YANLIŞTIR)
Adım 3 — III. Öncülün İncelenmesi (Maksimum noktalar):
[-6, 10] kapalı aralığında fonksiyonun yön değişimlerini ve uç noktalarını inceleyelim:
- x = -6 sol uç noktasıdır ve fonksiyon bu noktadan sonra azalmaya başlamaktadır. Dolayısıyla komşuluğundaki noktalardan daha büyük bir değere sahip olduğundan bir yerel maksimum noktasıdır.
- x = 3 noktasında fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçmiş ve tepe noktası yapmıştır; bu nokta yerel (ve mutlak) maksimum noktasıdır.
- x = 10 sağ uç noktasıdır ve fonksiyon x = 7’den x = 10’a kadar artarak gelmiştir. Sol komşuluğundaki değerlerden daha büyük olduğundan bir yerel maksimum noktasıdır.
Dolayısıyla x = -6, x = 3 ve x = 10 apsisli noktalarda fonksiyon maksimum değer alır.
(III. öncül DOĞRUDUR)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kapalı Aralıkta Uç Noktalar: [a, b] gibi tanımlı kapalı aralıklarda uç noktalar yerel ekstremumdur. Sol uç nokta azalarak başlıyorsa yerel maksimum, sağ uç nokta artarak bitiyorsa yerel maksimumdur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eksenleri kesen x = -5, -2, 5, 9 noktalarını da f(x) < 0 çözümüne dahil etmek.- Doğru Yaklaşım: x eksenini kesen noktalarda f(x) = 0 olduğu için kesin eşitsizliklerde (< 0) bu kökler dahil edilmez.
Benzer bir fonksiyon grafiğinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin nasıl bulunduğunu da incelemek ister misin?