Aşağıda 14 adet eş dikdörtgen şeklinde parke kullanılarak oluşturulmuş bir zemin görseli verilmiştir

Maths Question
1

Aşağıda 14 adet eş dikdörtgen şeklinde parke kullanılarak oluşturulmuş bir zemin görseli verilmiştir.
K noktasında bulunan bir kedi doğrusal bir şekilde önce A noktasına, ardından B noktasına yürümüştür.
Buna göre KAB açısının sinüs değerini bulunuz.

Aşağıda 14 adet eş dikdörtgen şeklinde parke kullanılarak oluşturulmuş bir zemin...
Aşağıda 14 adet eş dikdörtgen şeklinde parke kullanılarak oluşturulmuş bir zemin...878×800 80.1 KB

2

KAB Açısının Sinüs Değerinin Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  • Dikdörtgen Kenar Bağıntısı: Eş dikdörtgenlerin kısa kenarına x, uzun kenarına y denir.
  • Pisagor Teoremi: c = \sqrt{a^2 + b^2}
  • Sinüs Tanımı: \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Parkelerin Kenar Uzunlukları Arasındaki Oranı Bulma

  • Şeklin sol kenarında 7 adet kısa kenar üst üste gelerek zeminin toplam yüksekliğini oluşturmaktadır:
\text{Toplam Yükseklik} = 7x
  • Şeklin sağ tarafında ise 3 adet yatay parke (yükseklik 3x) ile 1 adet dikey parke (yükseklik y) üst üste yerleştirilmiştir:
3x + y = 7x \implies y = 4x
  • Buradan bir parkenin uzun kenarının, kısa kenarının 4 katı olduğu bulunur (y = 4x).

Adım 2 — A ve K Noktalarının Konumlarını Belirleme

  • A noktasından tabana dik bir doğru parçası çizilerek dik üçgen oluşturalım:
    • Düşey Uzaklık (Karşı Kenar): A noktası zeminin en üst kenarında, K noktası ise en alt kenarında olduğundan aralarındaki düşey mesafe zeminin toplam yüksekliğine eşittir:
    \text{Düşey Kenar} = 7x
    • Yatay Uzaklık (Komşu Kenar): A noktası sol bloktaki yatay parkelerin bittiği yerdedir (x_A = y = 4x). K noktası ise ortadaki 2 dikey parkenin sağ alt köşesindedir (x_K = y + 2x = 4x + 2x = 6x).
    \text{Yatay Kenar} = 6x - 4x = 2x

Adım 3 — [AK] Hipotenüs Uzunluğunu Hesaplama

  • Oluşan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır:
|AK| = \sqrt{(2x)^2 + (7x)^2}
|AK| = \sqrt{4x^2 + 49x^2} = \sqrt{53x^2} = x\sqrt{53}

Adım 4 — \sin(\widehat{KAB}) Değerini Hesaplama

  • [AB] doğru parçası zeminin üst yatay kenarı üzerinde olduğundan, A noktasından K’ye inen doğru parçasının AB ile yaptığı açının oluşturduğu dik üçgende:
    • Açının karşısındaki kenar = Düşey kenar = 7x
    • Hipotenüs = |AK| = x\sqrt{53}
\sin(\widehat{KAB}) = \frac{7x}{x\sqrt{53}} = \frac{7}{\sqrt{53}} = \frac{7\sqrt{53}}{53}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \mathbf{\dfrac{7\sqrt{53}}{53}} (veya \mathbf{\dfrac{7}{\sqrt{53}}})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Eş Şekillerde Kenar Bağıntısı Kurma

  • Tanım: Farklı yönlerde dizilmiş eş geometrik şekillerin kenarları arasındaki oran, ortak yükseklik veya genişlik eşitliklerinden bulunur.
  • Bu problemde: Sol kenardaki 7x yüksekliği ile sağ taraftaki y + 3x yüksekliği eşitlenerek y = 4x bağıntısı elde edilmiştir.

2. Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

  • Tanım: Bir dik üçgende dar açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.
  • Bu problemde: Yatay doğrultu ile yapılan açının karşısındaki kenar düşey mesafe (7x), hipotenüs ise x\sqrt{53} olarak kullanılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yatay Mesafeyi Yanlış Belirleme

  • Yanlış: A ile K arasındaki yatay mesafeyi parke uzun kenarı (4x) olarak almak.
  • Doğru: A ile K arasındaki yatay farkın yalnızca ortadaki 2 dikey parkenin genişliği olan 2x kadar olduğunu görmek.
  • Neden yanlış: A noktası zaten y kadar sağdadır; K noktası ise y+2x hizasındadır. Fark 2x’tir.

Bu çözümle ilgili kafana takılan bir adım var mı, yoksa benzer bir trigonometri sorusuyla pekiştirmek ister misin?

3

komşu kenarı anlamadım

4

A ve K Noktaları Arasındaki Yatay Mesafenin (Komşu Kenarın) Açıklaması

:light_bulb: TEMEL KURAL: Yatay mesafeyi bulmak için zeminin en sol kenarını başlangıç çizgisi (0 noktası) kabul edip, A ve K noktalarının bu çizgiye olan yatay uzaklıkları arasındaki farkı hesaplarız.

:brain: ADIM ADIM YATAY MESAFE HESABI:

Adım 1 — Parkelerin Boyutlarını Hatırlayalım

  • Bir parkenin kısa kenarı: x
  • Bir parkenin uzun kenarı: y = 4x

Adım 2 — A Noktasının Yatay Konumu

  • A noktası, zeminin en üstünde yer alır.
  • En solda üst üste dizilmiş 7 adet yatay parke bulunmaktadır.
  • Bu yatay parkelerin genişliği bir parkenin uzun kenarı kadardır (y = 4x).
  • A noktası tam bu bloğun bittiği çizgide yer aldığından:
    \text{En sol kenardan } A\text{'ya olan yatay mesafe} = 4x

Adım 3 — K Noktasının Yatay Konumu

  • K noktası zeminin en altındadır.
  • Sol taraftaki 4x genişliğindeki yatay parke bloğunun hemen sağına, yan yana 2 adet dikey parke yerleştirilmiştir.
  • Her bir dikey parkenin genişliği kısa kenar (x) kadardır:
    \text{İki dikey parkenin toplam genişliği} = x + x = 2x
  • K noktası bu iki dikey parkenin sağ alt köşesinde bulunduğundan:
    \text{En sol kenardan } K\text{'ya olan yatay mesafe} = 4x + 2x = 6x

Adım 4 — Komşu Kenar (Yatay Fark)

  • \widehat{KAB} açısını içeren dik üçgende [AB] doğrultusu yataydır.
  • A noktasından K noktasına doğru yatayda ilerlenen miktar:
    \text{Yatay Kenar} = 6x - 4x = 2x

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: ÖZET: A noktası soldan 4x uzaklıkta, K noktası ise soldan 6x uzaklıktadır. Aralarındaki yatay mesafe bu iki değerin farkı olan 2x birimdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Koordinat Mantığı ile Konum Belirleme

  • Tanım: Geometrik şekillerde noktaların izdüşümlerini sabit bir referans çizgisine göre hesaplama yöntemidir.
  • Bu problemde: Sol kenar referans (x=0) alındığında A(4x, 7x) ve K(6x, 0) koordinatlarına sahip olur; buradan yatay kenar |6x - 4x| = 2x, düşey kenar |7x - 0| = 7x bulunur.

Yatay mesafenin neden 2x olduğu şimdi netleşti mi, koordinat düzlemine oturtarak bir kez daha göstermemi ister misin?