Problemleri: Doğru orantılı çokluklara değişim diyagramında çapraz çarpım uygulanır.
ARTARKEN
(AZALIRKEN)
\frac{x}{a}
\frac{y}{b}
ARTAR
(AZALIR)
Doğru Orantı: a dot d = b dot c
Torbadaki beyaz renkli bilye sayısı 60 ile 70 arasında olduğuna göre, siyah bilye sayısı kaçtır?
Çözüm:
Siyah ve Beyaz Bilye Sayısı Orantı Problemi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Doğru orantılı çokluklar bölümleri sabit bir k orantı sabitine eşit olan çokluklardır:
\frac{S}{5} = \frac{B}{8} = k \implies S = 5k \quad \text{ve} \quad B = 8k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Orantı Sabitini Tanımlama
Siyah (S) ve beyaz (B) bilye sayıları sırasıyla 5 ve 8 ile doğru orantılı olduğundan, pozitif bir k tam sayısı için bilye sayıları:
- Siyah bilye sayısı: S = 5k
- Beyaz bilye sayısı: B = 8k olarak ifade edilir.
Adım 2 — Beyaz Bilye Sayısı İçin Verilen Aralığı İnceleme
Beyaz bilye sayısının 60 ile 70 arasında olduğu belirtilmiştir:
60 < B < 70 \implies 60 < 8k < 70
Adım 3 — Orantı Sabiti k Değerini Bulma
Bilye sayısı bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, k değeri de pozitif bir tam sayıdır. 8’in katlarını inceleyelim:
- k = 7 için: 8 \times 7 = 56 (60’tan küçük)
- k = 8 için: 8 \times 8 = 64 (60 ile 70 arasında)
- k = 9 için: 8 \times 9 = 72 (70’ten büyük)
Buradan k = 8 bulunur.
Adım 4 — Siyah Bilye Sayısını Hesaplama
Bulunan k = 8 değerini siyah bilye eşitliğinde yerine yazalım:
S = 5 \times 8 = 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Torbadaki siyah bilye sayısı 40 adettir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğru Orantı ve Orantı Sabiti (k)
- Tanım: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar doğru orantılıdır.
- Bu problemde: Siyah ve beyaz bilyelerin oranını k ortak çarpanı üzerinden 5k ve 8k biçiminde cebirsel olarak ifade etmekte kullanıldı.
2. Tam Sayı Kısıtı (Sayılabilir Çokluklar)
- Tanım: Nesne sayıları (bilye, insan, ağaç vb.) reel sayı olamaz; pozitif tam sayı olmak zorundadır.
- Bu problemde: 8k’nın 60 ile 70 arasında bir tam sayı olması şartından yola çıkılarak k=8 tek değer olarak belirlendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Orantı Sabitini Virgüllü/Ondalıklı Almak
- Yanlış: 8k = 65 \implies k = 8{,}125 alıp S = 5 \times 8{,}125 = 40{,}625 bulmak.
- Doğru: Bilye sayısı ondalıklı olamayacağı için 8k ifadesinin 60-70 aralığında 8’in tam katı olan 64 değerine eşitlenmesi gerekir.
- Neden yanlış: Bilyeler bölünemez tam nesnelerdir, bu nedenle bilye sayıları daima birer doğal sayı olmalıdır.
Doğru orantı ve ters orantı problemleriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?