Artan Bir Dizide Terimler ve Aritmetik Ortalama Sorusu

YKS TYT
1

Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve ar-
tan olan bir dizinin ilk yedi terimi 5,6, 10, a, 12,
b, c dir.
Bu sayıların aritmetik ortalaması 11 olduğuna
göre, a +b toplaminın en büyük değeri kaçtır?
A) 25
B) 27 C) 28
D) 32
E) 34
(2008- ÖSS Mat 1)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 63.5 KB

2

Artan Bir Dizide Terimler ve Aritmetik Ortalama Sorusu

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Aritmetik Ortalama: Terimlerin toplamı / Terim sayısı
  • Artan Dizi Şartı: n_1 < n_2 < n_3 < ...
  • Doğal Sayı Şartı: Terimler \{0, 1, 2, ...\} kümesine ait olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri Analiz Etme ve Toplamı Bulma
Dizinin ilk yedi terimi: 5, 6, 10, a, 12, b, c olarak verilmiştir.
Bu 7 sayının aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre, sayıların toplamı:
7 \times 11 = 77 olmalıdır.

Adım 2 — Denklem Kurma
Terimleri toplayalım:
5 + 6 + 10 + a + 12 + b + c = 77
33 + a + b + c = 77
a + b + c = 44

Adım 3 — Artan Dizi Şartını Uygulama
Dizi “artan” olduğu için terimler arasındaki sıralama şu şekildedir:
5 < 6 < 10 < a < 12 < b < c
Bu sıralamaya göre a değeri 10 ile 12 arasında bir doğal sayı olmalıdır.
Dolayısıyla;
:white_check_mark: a = 11 olmak zorundadır.

Adım 4 — a + b Toplamının En Büyük Değerini Bulma
a = 11 olduğunu bulduk. Şimdi denklemde yerine yazalım:
11 + b + c = 44
b + c = 33

a + b toplamının en büyük olması için b değerini seçebileceğimiz en büyük değer yapmalıyız.
Ancak artan dizi kuralına göre sıralama şöyledir:
12 < b < c
b + c = 33 toplamında b’yi en büyük seçmek için c’yi $b$’den sadece 1 büyük seçmeliyiz (c = b + 1):
b + (b + 1) = 33
2b + 1 = 33 \implies 2b = 32 \implies b = 16
Bu durumda c = 17 olur ve 12 < 16 < 17 şartı sağlanır.

Adım 5 — Final Hesaplama
a = 11
b = 16
a + b = 11 + 16 = 27

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Artan Dizi

  • Tanım: Her terimi kendinden önceki terimden daha büyük olan dizilerdir.
  • Bu problemde: a’nın 11 olmasını ve b < c şartını belirleyen temel kuraldır.

2. Aritmetik Ortalama

  • Tanım: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
  • Bu problemde: Tüm terimlerin toplamının 77 olduğunu bulmamızı sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Değerleri Sıralamaya Dikkat Etmemek

  • Yanlış: a değerini 10 veya 12 alarak işleme devam etmek.
  • Doğru: “Terimleri birbirinden farklı” ve “artan” dendiği için 10 < a < 12 aralığında sadece 11 tam sayısı mevcuttur.
  • Neden Yanlış: Sorudaki artan dizi kuralı ihlal edilmiş olur.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir “artan dizi ve ortalama” sorusu oluşturmamı ister misin?