!17426341644355980155471259620503|375x500 [Link Silindi]
p(x) = d/dx [(x+2+3) / (3x+4)] ifadesine göre p(-1) değerini bulunuz.
Cevap:
Bu soruda bizden, önce (x+2+3)/(3x+4) ifadesinin türevini (yani p(x)) bulmamız ve ardından p(-1) değerini hesaplamamız isteniyor. Gösterimi kolaylaştırmak adına:
- f(x) = x + 5 (çünkü x + 2 + 3 = x + 5)
- g(x) = 3x + 4
olacak şekilde p(x) = f(x)/g(x) türevi hesaplanacaktır.
1. Adım: Türevi Almak (Quotient Rule - Bölme Kuralı)
Bölme kuralı (Quotient Rule) şu şekildedir:
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'
= \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}.
f(x) = x + 5 ⇒ f’(x) = 1
g(x) = 3x + 4 ⇒ g’(x) = 3
Buna göre,
p(x)
= \left(\frac{x+5}{3x+4}\right)'
= \frac{(1)\,(3x+4) - (x+5)\,(3)}{(3x+4)^2}.
2. Adım: Payı Sadeleştirmek
Üstteki ifadeyi sadeleştirelim:
Pay = (1)(3x + 4) – (x + 5)(3)
= (3x + 4) – (3x + 15)
= 3x + 4 – 3x – 15
= –11
Dolayısıyla,
p(x) = \frac{-11}{(3x + 4)^2}.
3. Adım: p(-1) Değerini Bulmak
Şimdi x = –1 değerini türev ifadesine yerleştirelim:
p(-1) = \frac{-11}{\bigl(3(-1) + 4\bigr)^2}
= \frac{-11}{( -3 + 4 )^2}
= \frac{-11}{1^2}
= -11.
Böylece p(-1) = -11 bulunur.
Özet Tablo
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. f(x) ve g(x) belirleme | f(x) = x + 5, g(x) = 3x + 4 | f’(x) = 1, g’(x) = 3 |
| 2. Bölme Kuralı | (f/g)’ = [f’(x) g(x) – f(x) g’(x)] / [g(x)]² | p(x) = (-11)/(3x + 4)² |
| 3. p(-1) Değerini Hesaplama | p(-1) = –11 / (3(–1) + 4)² | p(-1) = –11 |
Kısa Özet
(x+5)/(3x+4) fonksiyonunun türevi, bölme kuralı uygulanarak
p(x) = –11 / (3x+4)² şeklinde bulunur. Ardından x yerine –1 yazıldığında
p(-1) = –11 elde edilir.
Kaynaklar:
- OpenStax Calculus (2021)
- Stewart, J. (2012). Calculus, Cengage Learning