Aritmetik Dizinin Ortak Farkının Bulunması
Önemli Noktalar
- Aritmetik dizide terimler arasındaki fark sabit ve buna ortak fark (d) denir
- Aritmetik dizinin genel terim formülü:
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$ - Verilen terimlerden denklem kurularak ortak fark bulunabilir
Aritmetik dizide, ilk terim (a_1), üçüncü terim (a_3), sekizinci terim (a_8) şeklinde verilmiştir. Ortak farkı bulmak için genel terim formülünden yararlanırız.
İçindekiler
Problemin Analizi
Verilen terimler:
- (a_1 = 2x - 10)
- (a_3 = 4x - 20)
- (a_8 = x^2 - 67)
Aritmetik dizi için:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]
Buradan,
[
a_3 = a_1 + 2d
]
[
a_8 = a_1 + 7d
]
Bu iki denklem ile (d) ve (x) ilişkisi kurulabilir.
Ortak Farkın Hesaplanması
Öncelikle (a_3) ve (a_1) denklemi:
[
4x - 20 = (2x -10) + 2d \implies 4x - 20 - 2x +10 = 2d \implies 2x -10 = 2d \implies d = x - 5
]
Şimdi (a_8) ve (a_1) denklemine geçelim:
[
x^2 - 67 = (2x -10) + 7d
]
Burada (d = x - 5) yerine koy:
[
x^2 - 67 = 2x -10 + 7(x -5) = 2x - 10 + 7x - 35 = 9x - 45
]
Denklemi düzenle:
[
x^2 - 67 = 9x -45 \implies x^2 - 9x - 22 = 0
]
Bu bir ikinci derece denklemdir. Çözelim:
[
x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{9 \pm 13}{2}
]
İki çözüm:
- (x_1 = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11)
- (x_2 = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2)
Kural: Dizinin terimleri pozitif olmalı.
(x=11) için:
[
a_1 = 2(11) -10 = 22 -10 = 12 > 0
]
Dizinin terimleri pozitif.
(x=-2) için:
[
a_1 = 2(-2) -10 = -4 -10 = -14 < 0
]
Bu nedenle (x=11) geçerlidir.
Ortak fark:
[
d = x - 5 = 11 - 5 = 6
]
Sonuç ve Cevap
Dizinin ortak farkı 6’dır. Doğru seçenek B şıkkıdır.
Sık Sorulan Sorular
1. Aritmetik dizide ortak fark nasıl bulunur?
Genel terimler arasındaki fark aynı olduğundan, iki terim arasındaki fark bölünerek bulunur: (d = \frac{a_m - a_n}{m-n})
2. Eğer dizinin terimleri pozitif değilse ne yapılır?
Soruda pozitif terim istendiğinde çözümden negatif sonuçları çıkarırız.
3. Bu problemde neden (x=11) çözümü seçildi?
Çünkü dizinin terimleri pozitif olmak zorunda ve (x=-2) bu şartı sağlamıyor.
Sonraki Adımlar
Başka aritmetik dizi soruları ile devam etmek veya geometrik dizilerde ortak oran nasıl bulunur, bunu ister misiniz?
Dizinin ortak farkı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Aritmetik dizide her terim a_n = a_1 + (n-1)d formülüyle bulunur.
- a_3 ve a_1 kullanılarak önce d = x-5 bulunur.
- a_8 denklemi çözülerek x=11 ve dolayısıyla d=6 elde edilir.
Ortak fark 6’dır.
İçindekiler
Çözüm
Aritmetik dizi tanımına göre
- a_3 = a_1 + 2d denklemiyle $d$’yi bulalım:
- a_8 = a_1 + 7d denkleminde $x$’i bulalım:
Terimlerin pozitif olması için a_1 = 2x - 10>0 gereğinden x=11 alınır.
Sonuç olarak
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Aritmetik Dizi | Geometrik Dizi |
|---|---|---|
| Genel Terim | a_n = a_1 + (n-1)d | a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} |
| Sabit Özellik | Ortak fark d | Oran r |
| Örnek | 2, 5, 8, 11, … | 2, 6, 18, 54, … |
Özet Tablosu
| Bilgi | Değer |
|---|---|
| a_1 | 2x - 10 |
| a_3 | 4x - 20 |
| a_8 | x^2 - 67 |
| Denklemler sonucu | x^2 - 9x - 22 = 0 |
| Kabul edilen x | 11 |
| Ortak fark d | 6 |
SSS
Soru 1: Ortak fark nedir?
Cevap: Aritmetik dizilerde ardışık iki terim arasındaki sabit farktır. Formülle d = a_{n+1} - a_n olarak hesaplanır.
Soru 2: Aritmetik dizinin genel terim formülü nasıl yazılır?
Cevap: a_n = a_1 + (n-1)d şeklindedir.
Soru 3: Neden x=-2 değeri reddedildi?
Cevap: Eğer x=-2 seçilseydi a_1 = 2(-2)-10=-14 olurdu; dizi pozitif terimli olduğu için bu değer geçerli değil.
Soru 4: Aritmetik dizi ile geometrik dizi arasındaki temel fark nedir?
Cevap: Aritmetik dizide fark sabittir; geometrikte oran sabittir.
Bu konuyu pekiştirmek için birkaç benzer soru çözmemi ister misin?
@Abdurrahman2134