Aretilen B ve C sinifı iki miktarı ile fabrikanın araştırılmiş ve aylık ge- erde kalmasına dikkat iktarı ve fabrikanin ay- ük araç miktarı lirası cinsinden aylık lirası cinsinden aylık k üzere 6x+72x- 120 fonk- cir. aylık gelirin maksİ- ndan bir günd

YKS TYT
1

aretilen B ve C sinifı iki miktarı ile fabrikanın araştırılmiş ve aylık ge- erde kalmasına dikkat iktarı ve fabrikanin ay- ük araç miktarı lirası cinsinden aylık lirası cinsinden aylık k üzere 6x+72x- 120 fonk- cir. aylık gelirin maksİ- ndan bir günde kaç ğini bulunuz. ilen gelirin eşit ol- kaçar tane üretil- da üretim yapılması gelirinin Caracınin azla olması için bu e üretilmesi gerekir? i firma. kare sek- TEMA: NİCELİKLERVE DEĞİSİMLER 3. Bir boncuk dükkânında farklı büyüklükte A ve B boncukları satılmaktadır. A boncuğundarı elde edilen kâr, maliyet fivatı ile ters orantılidır. A bon- Cugunun maliyeti 2 TL iken kârn 4 TLdir. B boncu- ğundan elde edilen kâr daima maliyet fiyatından 2 TL fazladır. Dükkân sahibi hangi boncuk türünü satarsa daha fazla kâr elde edebileceğini öğren- mek amaciyla bir inceleme yapmaktadır. Bunun için A ve B türündeki boncuklarin satışından elde ettiği kârin maliyete bağlı değişimini gösteren fonksiyonları sırasıyla f ve g ile modellemiştir. Buna göre a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilini bulunuz. b) A ve B boncuklarından eşit miktarda kâr elde edebilmek için maliyetin kaç TL ol- ması gerektiğini gösteren ifadenin cebir- sel ve grafik temsilini yaparak maliyeti hesaplayınız. c) Çizdiğiniz grafik temsilinden yararlanarak hangi maliyet aralığında B boncuğunun A boncuğundan daha kârlı olduğunu bulu- nuz. Bu duruma karşılık gelen eşitsizliğin cebirsel temsilini yapınz.

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU:
Bir boncuk dükkânında A ve B türü boncuklardan elde edilen kârın, maliyete bağlı değişimini gösteren fonksiyonlar veriliyor.
a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilini bulunuz.
b) A ve B boncuklarından eşit miktarda kâr elde etmek için maliyetin kaç TL olması gerektiğini bulunan cebirsel ve grafik temsilini yapınız.
c) Grafikten ve cebirsel olarak hangi maliyet aralığında B boncuğunun A boncuğundan daha kârlı olduğunu bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Fonksiyon oluşturma
  • Eşitlik kurma ve çözme
  • Eşitsizlik çözümü ve grafik yorumu

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsili

  • A boncuğunun kârı, maliyet ile ters orantılıdır.

  • A boncuğunun maliyeti 2 TL iken kârı 4 TL ise, f(x) = \frac{k}{x} şeklinde fonksiyon kurulur. Burada x maliyet, k orantı sabitidir.

  • f(2) = 4 → \frac{k}{2} = 4 → k = 8

  • Bu durumda f(x) = \frac{8}{x}

  • B boncuğunun kârı maliyetten 2 TL fazladır.

  • B’nin kâr fonksiyonu g(x) = x + 2

Adım 2 — Eşit kâr için maliyetin bulunması

  • f(x) = g(x) olduğunda eşit kâr sağlanır.
  • \frac{8}{x} = x + 2
  • Denklemi çöz:
    8 = x(x + 2) \implies 8 = x^2 + 2x \implies x^2 + 2x - 8 = 0
  • Bu ikinci derece denklemi çözelim:
    x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}
  • x = \frac{-2 + 6}{2} = 2 veya x = \frac{-2 - 6}{2} = -4 (maliyet negatif olamayacağı için x=2 seçilir)

Adım 3 — Grafik temsili

  • Fonksiyonlar f(x) = \frac{8}{x} ve g(x) = x + 2 .
  • Kesişim noktası x=2 ve y=4 (her iki fonksiyon için).
  • Grafik çizildiğinde x < 2 aralığında f(x) > g(x) (yani A boncuğu daha kârlı),
  • x > 2 aralığında g(x) > f(x) (B boncuğu daha kârlı)

Adım 4 — Hangi maliyet aralığında B boncuğu daha kârlı?

  • g(x) > f(x) → x + 2 > \frac{8}{x}
  • Denklemi eşitsizlik olarak çözersek:
    x + 2 > \frac{8}{x} \Rightarrow x^2 + 2x > 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 > 0
  • Bu denklemin kökleri x=2 ve x=-4 . Pozitif değerler için:
    x^2 + 2x -8 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2 \quad \text{veya} \quad x < -4
  • Maliyet x>0 olduğu için B boncuğu x > 2 aralığında daha kârlıdır.

:white_check_mark: CEVAP:
a) f(x) = \frac{8}{x} , g(x) = x + 2
b) Eşit kâr için maliyet x=2 TL olmalıdır.
c) B boncuğu, maliyet 2 TL’den büyük olduğunda A boncuğundan daha kârlıdır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: A ve B türü boncukların maliyete bağlı kâr modelleri verilmiştir. A için kâr maliyete ters orantılıdır; A’nın maliyeti 2 TL iken kârı 4 TL’dir. B için kârı daima maliyetten 2 TL fazladır.
a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini bulunuz.
b) A ve B’den eşit kâr elde edebilmek için maliyetin kaç TL olması gerektiğini cebirsel ve grafik olarak gösterip hesaplayınız.
c) Hangi maliyet aralığında B boncuğunun A boncuğundan daha kârlı olduğunu grafikten bularak eşitsizliğin cebirsel temsilini yapınız.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Ters orantı: \text{kâr}=\dfrac{k}{x} (x: maliyet, k sabit)
  • Doğrusal ilişki (B için): \text{kâr}=x+2

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A türü (f) fonksiyonunun cebirsel ifadesini bulma
A için \text{kâr}=\dfrac{k}{x} ve x=2 iken kâr =4.
k=4\times 2=8.
Böylece \displaystyle f(x)=\frac{8}{x} .

Adım 2 — B türü (g) fonksiyonunun cebirsel ifadesini bulma
B için kâr maliyetten 2 TL fazladır, dolayısıyla \displaystyle g(x)=x+2 .

Adım 3 — Eşit kâr için cebirsel çözüm (f(x)=g(x))
Eşitlik: \displaystyle \frac{8}{x}=x+2.
Her iki tarafı x ile çarp (maliyet x>0 olarak düşünülür): \;8=x(x+2)=x^{2}+2x.
Denklemi standart forma getir: \;x^{2}+2x-8=0.
Diskriminant: \Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36.
Kökler: x=\dfrac{-2\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{-2\pm 6}{2}.
Bunlardan x=\dfrac{-2+6}{2}=2 ve x=\dfrac{-2-6}{2}=-4.
Maliyet negatif olamayacağı için kabul edilen çözüm x=2 TL. (Grafikte kesişim noktası x=2, kâr değeri f(2)=\dfrac{8}{2}=4 veya g(2)=2+2=4, yani nokta (2,4).)

Adım 4 — Grafikten yorum ve eşitsizlik çözümü
Grafik: f(x)=\dfrac{8}{x} azalan hiperbol, g(x)=x+2 eğimi 1 olan doğru; kesişim (2,4).
B daha kârlı olsun: g(x)>f(x). Maliyet x>0 olduğu için çarpma güvenlidir:
x+2>\dfrac{8}{x} ⇔ x^{2}+2x>8 ⇔ x^{2}+2x-8>0.
Faktörle: (x-2)(x+4)>0. Kökler -4 ve 2. Pozitif maliyet aralığında çözüm x>2.
Dolayısıyla B boncuğu A’dan daha kârlıdır için maliyet aralığı x>2 TL.
A daha kârlı olur: 0<x<2.

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Ters orantı
  • Tanım: Bir büyüklük diğerinin tersiyle orantılıysa y=\dfrac{k}{x}.
  • Bu problemde: A boncuğunun kârı maliyete ters orantılı olduğundan f(x)=\dfrac{8}{x}.
  1. Doğrusal fonksiyon
  • Tanım: Sabit eğimli doğrusal ilişki y=mx+b.
  • Bu problemde: B için g(x)=x+2 (eğim 1, kesişim 2).

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşaret unutma hatası

  • Yanlış: Eşitsizlikte her iki tarafı x ile çarparken x’in işaretini dikkate almamak.
  • Doğru: Maliyet x>0 olduğu için çarpma güvenlidir; eğer x işaret değişkeniyse eşitsizlik yönü değişebilir.
  • Neden yanlış: Negatif x için çarpma eşitsizlik yönünü tersine çevirebilir.
  • Düzeltme: Problemin bağlamından x>0 çıkarımı yap ve sonra çarp.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

CEVAP:
a) \displaystyle f(x)=\frac{8}{x} ve \displaystyle g(x)=x+2.
b) Eşit kâr için maliyet 2 TL (kesişim noktası (2,4)).
c) B boncuğu A’dan daha kârlıdır için maliyet aralığı x>2 TL; eşitsizlik cebirsel olarak x+2>\dfrac{8}{x}\Rightarrow x>2 (maliyet x>0 kabul edilirse).