2k
3k
sombreada
área de la región
es
80cm^{2}, Calcular el
6.-Si el
área del triángulo
Soru Fotoğrafı:
¿Cuál es el área de la región sombreada?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
El área de un triángulo con una base partida en proporción se reparte en la misma razón cuando los triángulos comparten la misma altura.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Büyük üçgenin tabanını incele
En la base PR:
PV = 2k
VR = 3k
Entonces:
PR = 2k + 3k
PR = 5k
Adım 2 — Alanların oranını kullan
Los triángulos que tienen la misma altura desde Q hacia la recta PR tienen áreas proporcionales a sus bases.
Por tanto:
\frac{[PQV]}{[PQR]} = \frac{PV}{PR}
\frac{[PQV]}{80} = \frac{2k}{5k}
\frac{[PQV]}{80} = \frac{2}{5}
[PQV] = 80 \cdot \frac{2}{5}
[PQV] = 32
Adım 3 — Sombreada bölgeyi al
La región sombreada corresponde al resto del triángulo grande:
80 - 32
= 48
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CEVAP: \boxed{48\text{ cm}^2}
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Oranlı alanlar
- Tanım: Misma altura, áreas proporcionales a las bases.
- Bu problemde: Se comparan PV y PR.
2. Triángulos con la misma altura
- Tanım: Si comparten altura, sus áreas dependen solo de la base.
- Bu problemde: Los triángulos dentro de PQR usan la misma altura desde Q.
SIK YAPILAN HATALAR:
Baseyi yanlış almak
- Yanlış: Solo usar 2k o solo 3k.
- Doğru: Usar toda la base PR = 5k.
- Neden yanlış: El área total depende de la base completa.
- Düzeltme: Primero suma los segmentos.
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Cálculo del área de la región sombreada en el triángulo PQR
Pasos para resolver el problema:
Paso 1 — Entender la información y el triángulo dado
- El área del triángulo grande PQR es de 80 \text{ cm}^2.
- Se observan segmentos con longitudes proporcionales indicadas como 2k y 3k.
- Hay subdivisiones dentro del triángulo, y la región sombreada es un triángulo interior.
- Los puntos U y T parecen dividir los lados, formando triángulos más pequeños en su interior.
Paso 2 — Definir la relación entre los segmentos
- La base PR tiene una longitud total de 2k + 3k = 5k.
- El triángulo PQR tiene la base PR = 5k y altura correspondiente desde Q.
Paso 3 — Relacionar áreas por proporción
- Sabemos que el área total es 80 cm².
- La altura común a todos los pequeños triángulos que comparten la base PR o partes de ella proporcionales a 2k y 3k.
- La región sombreada corresponde a un área proporcional a uno de esos segmentos.
Paso 4 — Calcular el área de la región sombreada
- La región sombreada está delimitada por segmentos que corresponden a los valores dados.
- Por proporción, podemos calcular el área que corresponde a la sección con base 3k sobre el total 5k.
Área sombreada = \frac{3k}{5k} \times 80 \text{ cm}^2 = \frac{3}{5} \times 80 = 48 \text{ cm}^2.
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Respuesta:
El área de la región sombreada es 48 \text{ cm}^2.
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Conceptos clave:
- Área de triángulo: \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}
- Proporcionalidad en triángulos: áreas relacionadas proporcionalmente a las bases cuando comparten la misma altura.
- División de segmentos: la base total se divide en partes proporcionales que determinan la división del área.
Errores comunes:
Confundir las longitudes absolutas con las proporcionales.
Correcto: usar las proporciones para calcular áreas relativas.
No identificar que la altura es común para los triángulos con bases en una misma línea.
Recordar la propiedad de triángulos con misma altura.
¿Quieres que te explique cómo encontrar el área paso a paso con gráficos o ejemplos similares?
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