Ardışık Sayılar Problemi Çözümü

YKS TYT
1

IMG_20260511_184721
IMG_20260511_1847214160×3120 321 KB

2

Ardışık Sayılar Problemi Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
Ardışık terimlerin toplamı için Gauss formülü:
S_n = n \times \frac{(İlk \ Terim + Son \ Terim)}{2}
Burada n = \frac{(Son \ Terim - İlk \ Terim)}{Artış \ Miktarı} + 1

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Dizinin Yapısını İnceleme
Verilen dizi: 16 + 26 + 36 + \dots + A6
Bu bir aritmetik dizidir çünkü terimler arasında sabit bir artış vardır.
İlk terim: T_1 = 16
İkinci terim: T_2 = 26
Artış miktarı: d = T_2 - T_1 = 26 - 16 = 10

Son terim A6 şeklindedir, bu da bir sayının onlar basamağının A ve birler basamağının 6 olduğunu gösterir. Yani son terim 10A + 6 şeklinde yazılabilir.

Adım 2 — Terim Sayısını (n) Bulma
Dizinin son terimi 10A + 6 olduğuna göre, terim sayısı formülünü kullanarak n’i A cinsinden ifade edebiliriz:
n = \frac{(Son \ Terim - İlk \ Terim)}{Artış \ Miktarı} + 1
n = \frac{(10A + 6 - 16)}{10} + 1
n = \frac{(10A - 10)}{10} + 1
n = (A - 1) + 1
n = A

Yani dizideki terim sayısı A imiş.

Adım 3 — Dizinin Toplamını Hesaplama
Dizinin toplamı S_n = n \times \frac{(İlk \ Terim + Son \ Terim)}{2} formülü ile bulunur.
S_n = A \times \frac{(16 + (10A + 6))}{2}
S_n = A \times \frac{(10A + 22)}{2}
S_n = A \times (5A + 11)
S_n = 5A^2 + 11A

Adım 4 — Eşitliğin Sağ Tarafını Hesaplama
Verilen eşitlik: 16 + 26 + 36 + \dots + A6 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17
Eşitliğin sağ tarafındaki değeri hesaplayalım:
2^3 = 8
8 \cdot 3 = 24
24 \cdot 17 = 408

Adım 5 — Denklemi Çözme
Bulduğumuz toplam formülü ile eşitliğin sağ tarafını birbirine eşitleyelim:
5A^2 + 11A = 408
Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çözmeliyiz. A bir rakam olduğu için seçenekleri deneyebiliriz veya çarpanlara ayırabiliriz.

Seçenekleri deneyelim:
A) A=4: 5(4^2) + 11(4) = 5(16) + 44 = 80 + 44 = 124 (Değil)
B) A=5: 5(5^2) + 11(5) = 5(25) + 55 = 125 + 55 = 180 (Değil)
C) A=6: 5(6^2) + 11(6) = 5(36) + 66 = 180 + 66 = 246 (Değil)
D) A=7: 5(7^2) + 11(7) = 5(49) + 77 = 245 + 77 = 322 (Değil)
E) A=8: 5(8^2) + 11(8) = 5(64) + 88 = 320 + 88 = 408 (Doğru!)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] A=8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Aritmetik Dizi

  • [Tanım:] Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayılar dizisidir. Bu sabit farka “ortak fark” denir.
  • [Bu problemde:] Terimler arasındaki sabit artış (10) aritmetik dizi tanımına uymaktadır.

2. Aritmetik Dizi Toplamı (Gauss Formülü)

  • [Tanım:] Bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamını bulmak için kullanılan formüldür: S_n = n \times \frac{(İlk \ Terim + Son \ Terim)}{2}.
  • [Bu problemde:] Problemin çözümünde bu formül anahtar rol oynamıştır.

3. Terim Sayısı Formülü

  • [Tanım:] Bir aritmetik dizideki terim sayısını bulmak için kullanılır: n = \frac{(Son \ Terim - İlk \ Terim)}{Artış \ Miktarı} + 1.
  • [Bu problemde:] Son terimin bilinmeyen A ile ifade edilmesi, terim sayısının da A cinsinden bulunmasını sağlamıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Terim Sayısını Yanlış Hesaplama

  • [Yanlış:] Sadece (Son \ Terim - İlk \ Terim) / Artış \ Miktarı işlemini yapmak.
  • [Doğru:] Formüldeki “+1” kısmını unutmamak: \frac{(Son \ Terim - İlk \ Terim)}{Artış \ Miktarı} + 1.
  • [Neden yanlış:] “+1” eklenmediğinde ilk terim sayılmaz ve terim sayısı eksik bulunur.

:cross_mark: İkinci Dereceden Denklem Çözümünde Hata

  • [Yanlış:] Denklemi çözmeye çalışırken işlem hatası yapmak veya çarpanlara ayırmakta zorlanmak.
  • [Doğru:] Seçenekler verildiğinde, seçenekleri denemek denklemi çözmenin daha hızlı ve güvenilir bir yolu olabilir.
  • [Neden yanlış:] Denklem çözümündeki bir hata, doğrudan yanlış cevaba yol açar.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?