Arda'nın uçağı yaparken uyguladığı ilk 5 adım aşağıda gösterilmiştir

Question Answer
1

Origami bir kâğıt katlama sanatıdır.
Arda, kısa kenar uzunluğu 2^{20} birim ve uzun kenarı kısa kenarının 1,5 katı olan arka yüzü mavi dikdörtgen biçiminde bir kâğıt kullanarak origami ile uçak yapmak istemektedir.
Arda’nın uçağı yaparken uyguladığı ilk 5 adım aşağıda gösterilmiştir.

    1. adımda uzun kenarları üst üste gelecek şekilde kâğıdı katlamış, tekrar açtığında kat çizgisi oluştuğunu görmüştür.
    1. adımda kısa kenarının katlama sonucu oluşan parçaları, kat çizgisiyle çakışacak biçimde katlamıştır.
    1. adımda oluşan üçgen kısmı, tabanı boyunca aşağıya doğru katlamıştır.
  • 4 ve 5. adımda ise kâğıdı ok yönünde şekildeki gibi katlamıştır.
    Buna göre, 5. adımda elde edilen dörtgen biçimindeki kâğıdın görünen yüzünün alanı kaç birimkaredir?
    A) 3 dot 2^{36}
    B) 3 dot 2^{37}
    C) 6 dot 2^{37}
    D) 6 dot 2^{38}

Origami bir kâğıt katlama sanatıdır.
Origami bir kâğıt katlama sanatıdır.947×800 160 KB

2

Üslü İfadeler ve Geometrik Katlama Problemleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dik yamuğun alanı, paralel tabanların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir:

\text{Alan} = \frac{a + c}{2} \cdot h

Aynı tabana sahip üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: 2^x \cdot 2^y = 2^{x+y}.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Kâğıdın Başlangıç Boyutlarının Belirlenmesi
Kâğıdın kısa kenarı 2^{20} birim olarak verilmiştir. Uzun kenar, kısa kenarın 1{,}5 katı olduğundan:

\text{Uzun Kenar} = 1{,}5 \cdot 2^{20} = \frac{3}{2} \cdot 2^{20} = 3 \cdot 2^{19} \text{ birim}

Adım 2 — Katlama Adımları Boyunca Yükseklik ve Kenar Değişimleri

  • 1 ve 2. Adım: Kâğıdın genişliği 2^{20} birimdir. Dikey simetri eksenine göre katlanan ikizkenar dik üçgenlerin dik kenarları 2^{19} birim olur.
  • 3. Adım: Tepe üçgeni tabanı boyunca aşağı katlandığında, kâğıdın yeni üst kenarı taban seviyesine iner. Kâğıdın toplam yüksekliği:
h_{\text{yeni}} = 3 \cdot 2^{19} - 2^{19} = 2 \cdot 2^{19} \text{ birim}
  • 4. Adım: Üst köşeler tekrar orta çizgiye doğru 45^\circ katlandığında, katlanan dik üçgenlerin kenarları yine yarım genişlik olan 2^{19} birimdir. Bu işlem sonucunda yan kenar uzunluğu 2^{19} birim azalır.

Adım 3 — 5. Adımda Elde Edilen Dik Yamuğun Alanının Hesaplanması
Kâğıt orta ekseni boyunca ikiye katlandığında 5. adımda bir dik yamuk (dörtgen) oluşur:

  • Uzun dikey kenar (orta kat çizgisi): 2 \cdot 2^{19} birim
  • Kısa dikey kenar: 2 \cdot 2^{19} - 2^{19} = 2^{19} birim
  • Alt taban (yükseklik): \frac{2^{20}}{2} = 2^{19} birim

Oluşan bu dörtgenin görünen yüzünün alanı:

\text{Alan} = \frac{2 \cdot 2^{19} + 2^{19}}{2} \cdot 2^{19} = \frac{3 \cdot 2^{19}}{2} \cdot 2^{19} = 3 \cdot 2^{18} \cdot 2^{19} = 3 \cdot 2^{37} \text{ birimkare}

:white_check_mark: CEVAP: B) 3 \cdot 2^{37}

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Katlama sorularında kâğıt içe veya aşağı katlandığında toplam boyuttan katlanan üçgenin yüksekliği kadar eksilme olur. Katlanan parçanın 45^\circ açıyla inmesi, dikey ve yatay eksilmenin birbirine eşit (2^{19}) olmasını sağlar.