i
rigono
ÖRNEK 39
arc\tan(-3) + arccot(1)
itadesinin değeri
AJ -
D)
kaçtır?
B) -
E)
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Değerini Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \arctan(x) fonksiyonunun değer aralığı: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
- \operatorname{arccot}(x) fonksiyonunun değer aralığı: (0, \pi)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \arctan(-\sqrt{3}) Değerini Bulma
\arctan(-\sqrt{3}) = x olsun. Bu durumda \tan(x) = -\sqrt{3} olur.
\arctan fonksiyonunun değer aralığı \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan, tanjantı -\sqrt{3} olan açı 4. bölgede negatif yönlü olarak alınır:
\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3}
Adım 2 — \operatorname{arccot}(1) Değerini Bulma
\operatorname{arccot}(1) = y olsun. Bu durumda \cot(y) = 1 olur.
\operatorname{arccot} fonksiyonunun değer aralığı (0, \pi) olduğundan, kotanjantı 1 olan açı 1. bölgededir:
\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies y = \frac{\pi}{4}
Adım 3 — Değerleri Toplama
Bulunan iki değeri yerlerine koyup paydalarını 12’de eşitleyerek toplayalım:
\arctan(-\sqrt{3}) + \operatorname{arccot}(1) = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}
= -\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -\frac{\pi}{12}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Trigonometrik Fonksiyonlar (Arctan ve Arccot): Verilen bir trigonometrik değere karşılık gelen açıyı bulmamızı sağlar. Tanım ve değer aralıkları (çıkış aralıkları), fonksiyonun bire bir ve örten olmasını sağlamak için özel olarak sınırlandırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Tanjantın negatif olduğu durumu düşünürken açıyı \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığı yerine 300^\circ ya da 120^\circ gibi doğrudan aralık dışı değerler olarak bırakmak.- Doğru Yaklaşım: \arctan(x) için sonucun mutlaka \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında (yani 4. bölge için negatif açı olarak) ifade edilmesi gerekir.
Benzer bir ters trigonometrik fonksiyon sorusu çözerek konuyu daha iyi pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Ters Trigonometrik İfadeyi Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \arctan(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
- \operatorname{arccot}(x) \in (0, \pi)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değerlerin Belirlenmesi
- \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \implies \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}
- \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \operatorname{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}
Adım 2 — Toplama İşlemi
-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -\frac{\pi}{12}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Konuyu pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmek ister misin?
@sorumatik_ai ben tanın 270 ile 360 arasında değer aldığı için direkt 60 dedim
\arctan Fonksiyonunda Açı ve Bölge Mantığı
Referans açıyı 60^\circ olarak düşünmen son derece doğru bir başlangıç, ancak işarete ve tanımlı olduğu aralığa dikkat etmelisin:
Neden +60^\circ Değil de -60^\circ (-\frac{\pi}{3})?
-
İşaret Kontrolü:
- \tan(60^\circ) = +\sqrt{3}'tür (1. bölge).
- Soruda ise -\sqrt{3} isteniyor. Tanjant 4. bölgede negatiftir.
-
Tanım Aralığı Kuralı:
- \arctan(x) fonksiyonunun sonuç aralığı: \left(-90^\circ, 90^\circ\right) yani \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)'dir.
-
- bölgedeki açıyı 300^\circ olarak yazamayız; çünkü 300^\circ, belirlenen bu aralığın dışındadır (300^\circ > 90^\circ).
- Bu aralığa girmesi için 4. bölgeye saat yönünde (negatif yön) ilerleyerek ulaşırız:
\text{Açı} = -60^\circ = -\frac{\pi}{3}
Özet Kural:
- \arctan(\text{pozitif}) gelirse \rightarrow 1. bölge (0^\circ ile 90^\circ arası pozitif açı)
- \arctan(\text{negatif}) gelirse \rightarrow 4. bölge (-90^\circ ile 0^\circ arası negatif açı)
Bu kuralı pekiştirmek için \arctan(-1) ifadesinin değerini birlikte bulalım mı?
@sorumatik_ai 300 diye aldın
Hayır, 300° almadım, tam aksine 300° alınamaz dedim.
Fotoğrafta kağıda senin yazdığın “300 + 45” işlemine atıfta bulunarak neden 300° olamayacağını açıkladım:
- Sen kağıda 4. bölge için: 360^\circ - 60^\circ = \mathbf{300^\circ} yazmışsın.
- Ancak \arctan fonksiyonunun sonuç aralığı [0^\circ, 360^\circ] değildir.
- Sonuç aralığı sadece (-90^\circ, 90^\circ) arasındadır.
Bu yüzden 4. bölgedeki o açı 300^\circ olarak değil, geriye doğru sayılarak -60^\circ olarak alınmak zorundadır:
300^\circ - 360^\circ = -60^\circ = -\frac{\pi}{3}
İşlem de bu yüzden:
\underbrace{-\frac{\pi}{3}}_{-60^\circ} + \underbrace{\frac{\pi}{4}}_{45^\circ} = -\frac{\pi}{12} \; (-15^\circ)
olmaktadır.
Aralık mantığı şimdi tam oturdu mu?
@sorumatik_ai ben aldım neden olmuyor
Harika bir soru! Neden 300^\circ alamayacağının mantığını şu 2 temel sebeple kavrayabilirsin:
1. “Fonksiyon” Olma Kuralı (Tek Bir Cevap Olmalı)
Normalde tanjantı -\sqrt{3} yapan sonsuz tane açı vardır:
\dots, -60^\circ, 120^\circ, 300^\circ, 480^\circ, \dots
Eğer herkes istediği açıyı alabilseydi, \arctan(-\sqrt{3}) ifadesinin tek bir cevabı olmazdı ve bu bir fonksiyon olamazdı.
Tıpkı şunun gibi:
- (-2)^2 = 4 ve 2^2 = 4’tür.
- Ama \sqrt{4} dediğimizde cevaba -2 diyemeyiz, tanım gereği sadece +2 deriz.
Matematikçiler de \arctan için bir kural koymuş ve değer kümesini \left(-90^\circ, 90^\circ\right) aralığı olarak sabitlemiştir. 300^\circ bu aralıkta olmadığı için kabul edilmez.
2. Toplama Yaptığında Cevap Değişir
Eğer 300^\circ alırsan:
300^\circ + 45^\circ = 345^\circ
çıkar.
Fakat doğru tanım aralığından (-60^\circ) alırsan:
-60^\circ + 45^\circ = -15^\circ \quad \left(-\frac{\pi}{12}\right)
çıkar.
Gördüğün gibi şıklardaki -\frac{\pi}{12} cevabı, doğrudan -15^\circ’ye eşittir. Şıklarda 345^\circ’nin karşılığı olan \frac{23\pi}{12} bulunmaz; çünkü ters trigonometrik fonksiyonlar daima esas değer aralığından sonuç vermek zorundadır.
Kısacası:
\tan(300^\circ) = -\sqrt{3} eşitliği doğrudur, ama \arctan(-\sqrt{3}) = 300^\circ eşitliği fonksiyon tanım aralığına aykırı olduğu için yanlıştır.
Mantık şimdi netleşti mi?