Aralarındaki Açı 60° Olan Doğrulara Göre Yansıma ve Uzaklık Problemi

YKS TYT
1

D) cot
36. Dik koordinat sisteminde aralarındaki dar açının ölçüsü
60° olan d, ve d, doğruları orijin űzerinde kesişmektedir.
Doğrular üzerinde bulunmayan bir P(3, 4) noktasinin
iainepegoH pbnineleia1 doğrusuna göre yansıması A noktası,
Buna göre A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç
birimdir?
Uulud abries
A) 5beblemaizs
D) 5v3
B) 5V2
ngbnosiiens%
nezle xnsl C) 8
E) 91öp srtua

Soru Görseli
Soru Görseli1024×759 106 KB

2

Aralarındaki Açı 60° Olan Doğrulara Göre Yansıma ve Uzaklık Problemi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]

  1. Yansıma Özelliği: Bir noktanın bir doğruya göre yansıması alındığında, noktanın doğruya olan uzaklığı ile yansımasının doğruya olan uzaklığı eşittir. Bu durumda orijinden geçen doğrularda |OP| = |OA| = |OB| olur.
  2. Açı İlişkisi: Bir noktanın aralarında \alpha açısı bulunan iki doğruya göre yansımaları arasındaki açı, bu doğrular arasındaki açının iki katıdır (2\alpha).
  3. Kosinüs Teoremi veya Özel Üçgenler: 120^\circ olan ikizkenar üçgende taban uzunluğu, yan kenarların \sqrt{3} katıdır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Noktanın Orijine Uzaklığının Hesaplanması
P(3, 4) noktasının orijine (O(0,0)) olan uzaklığını bulalım:

|OP| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ birim}

Yansıma kuralı gereği, bir noktanın orijinden geçen bir doğruya göre yansıması orijine olan uzaklığı değiştirmez. Bu nedenle |OA| = 5 ve |OB| = 5 birimdir.

Adım 2 — A ve B Noktaları Arasındaki Açının Belirlenmesi
d_1 ve d_2 doğruları arasındaki dar açı 60^\circ olarak verilmiştir. Geometrik yansıma prensibine göre, P noktasının bu iki doğruya göre yansımaları olan A ve B noktaları ile orijin arasında oluşan \angle AOB açısı, doğrular arasındaki açının iki katıdır:

m(\angle AOB) = 2 \times 60^\circ = 120^\circ

Adım 3 — A ve B Noktaları Arasındaki Uzaklığın Hesaplanması
Şimdi elimizde |OA| = 5, |OB| = 5 ve aralarındaki açısı 120^\circ olan bir ikizkenar üçgen var. 30^\circ-30^\circ-120^\circ özel üçgeni kuralına göre, 120^\circ’lik açının karşısındaki kenar (|AB|), eşit kenarların \sqrt{3} katıdır:

|AB| = 5 \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 5√3 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Simetri (Yansıma)

  • [Tanım:] Bir noktanın bir doğruya göre simetriği, doğruya dik ve eşit uzaklıktaki noktadır.
  • [Bu problemde:] P noktasının orijinden geçen doğrulara göre yansıması alındığı için O, P, A ve B noktaları merkezi orijin olan 5 birim yarıçaplı bir çember üzerindedir.

2. 30-30-120 Üçgeni

  • [Tanım:] Kenar özellikleri a, a, a\sqrt{3} olan özel bir ikizkenar üçgendir.
  • [Bu problemde:] AOB üçgeninde kenarlar 5 birim ve tepe açısı 120^\circ olduğu için uzaklık 5\sqrt{3} olmuştur.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Yanlış Açı Hesabı

  • [Yanlış:] Açıyı direkt 60^\circ olarak alıp eşkenar üçgen kurmak.
  • [Doğru:] Yansımada açının iki katına çıktığını (2\alpha) unutmamak gerekir.
  • [Neden yanlış:] Yansıma ekseni, açıortay görevi görür; bu yüzden her iki taraftaki açılar toplanarak iki katına ulaşılır.

Bu çözümdeki yansıma mantığını pekiştirmek için benzer bir koordinat düzlemi sorusu çözmemi ister misin?