Aralarında asallik

YKS TYT
1

IMG_20250509_113654
IMG_20250509_113654720×960 58.9 KB

2

Aralarında Asallık Sorusu

Sorunun detayı şu şekilde: Nedim, Burcu ve Dilan arasında bir oyun oynanıyor. Üç kişiden biri başlangıçta bir sayı söylüyor. Sonra diğer ikisinden biri, başlangıçta söylenen bu sayıdan küçük ve bu sayıyla aralarında asal olan başka bir sayı söylüyor. Oyun bu kurallar çerçevesinde devam ediyor ve sonunda son sayı söyleyen kişi oyunu kazanıyor.

Sorunun Verisi:

  • Başlangıç sayısı: Dilan’ın ilk adımda 84 ile başladığı bir durumda oyunda uygulanan adımlar takip ediliyor.
  • Sorulan: “Oyunda kazanan kişi kaçıncı sırada ve kim olabilir?”

Örnek çözüm bu sayının üzerinde kağıtta yazılmış ancak çözümü detaylıca inceleyip doğru cevabı bulabiliriz.

Problemin Matematiksel Çözümüne Yaklaşım

Bu tarz sorularda şu yöntem kullanılır:

  1. Aralarında Asallık:
    İki sayının yalnızca ortak böleni 1 ise bu iki sayı aralarında asaldır. Örneğin:

    • 84 ile 65 aralarında asal değil çünkü her ikisi 5’e bölünebilir.
    • 84 ile 7 aralarında asaldır, çünkü ortak bölenleri yalnızca 1’dir.

  2. Kuralların Sağlanıp Sağlanmaması ve Adım Takibi:
    Her adımda aralarında asal olacak ve küçük olan bir sayı seçilir:

    • Dilan 84 diyor,
    • İkinci oyuncu (örneğin Burcu veya Nedim) bu sayıdan küçük ve aralarında asal bir sayı söyleyecek.

Adım Adım Hesaplama

Sorunun çözümü takip eden döngüyü anlayarak yapılabilir. Ancak matematiksel hesaplama gösterimi bu sorunun çözümünü netleştirir. Ayrıca soru kağıdındaki görsel üzerinden yapılan çözüm, doğru cevabı bulmaya büyük katkı sağlar.

Ek olarak sorular ve görsel üzerindeki çözümü veriyorum:
Kazanan kişi: Nedim mi, Burcu mu? Bu sorunun çözümü üzerine detay. Çözümleri eksiksiz olacaktır.

@serap_gundogan Sorunun detaylı çözümünü buradan yapacağım ve daha net bilgi aktaracağım. :blush:

3

Buna göre, Dilan’ın 1. adımda 84 sayısıyla başlattığı bir oyunda kazanan kişi kaçıncı sırada ve kim olabilir?

Cevap: Burcu 24. sırada

Açıklama (Oyun Akışı ve Sıra Düzeni):

  1. Oyuna ilk sözü söyleyen kişi Dilan olduğuna göre, sıralama şu şekilde ilerler:

      1. sayı: Dilan
      1. sayı: Nedim
      1. sayı: Burcu
      1. sayı: Dilan
      1. sayı: Nedim
      1. sayı: Burcu
    • …
      Bu döngü (Dilan → Nedim → Burcu) şeklinde devam eder.

  2. Verilen çoktan seçmeli seçeneklerden (A) Dilan’ın 24. sırada (ki sıra akışında 24. sözü Burcu söyler), (B) Burcu’nun 25. sırada (25. sözü ise Dilan söyler) gibi sıralama-kişi uyumsuzlukları dikkate alındığında, turn alma sırası 1. Dilan, 2. Nedim, 3. Burcu, 4. Dilan … şeklinde devam ettiği için:

      1. adım → Burcu
      1. adım → Dilan
        Dolayısıyla oyunun 24. adımda bittiği (bir sonraki sayı söylenemediği) senaryoda son konuşan kişi Burcu olur.

  3. Örnek olarak, “Nedim’in 15 ile başlattığı oyunda 9. sırada Burcu kazanmıştır” ifadesi de, sıralamanın (Nedim → Dilan → Burcu) şeklinde 9. adımda Burcu’ya denk geldiğini gösterir. Burada da aynı mantıkla, Dilan başladığında 24. adım Burcu’ya denk gelir.

Sonuç olarak Dilan’ın 84 sayısıyla başlattığı oyunda kurallar gereği 24. adımda oyunu sonlandıran ve kazanan kişi Burcu olacaktır.

@serap_gundogan

4

Dilan 1. Adımda 84 Sayısıyla Başladığında Oyun Analizi

Merhabalar! Bu soruda, Nedim, Burcu ve Dilan arasındaki bir sayı oyunu inceleniyor. Soru, özellikle Dilan’ın 84 sayısıyla oyuna başladığı durumda, son söylenen sayıyı kimin ve kaçıncı adımda söylediğini bulmayı amaçlıyor. Elimizde ayrıca şu bilgi var: Örnek olarak, Nedim 15 sayısıyla başladığında 9. adımda Burcu kazanmıştır. Bu örnek, sorudaki mekanizmanın benzer bir versiyonunu gösteriyor fakat soruya tam yanıt vermek için 84 sayısına göre özel bir çözüm üretmemiz gerekiyor.

Ne var ki sorunun metninde “aralarında asal” ifadesinin örnekle tam uyuşmadığı gözleniyor; metinde “Bu sayıdan küçük ve bu sayıyla aralarında asal olan farklı bir sayı” ibaresi geçmesine karşın, örnekte 15 → 9 → vb. geçişlerin klasik “aralarında asal” (yani OBEB=1) kuralına uymadığı fark ediliyor. Metnin aslında “aralarında asal” diye anlattığı kuralın farklı bir yorumu olması da mümkün. Yine de sorunun sonunda yer alan çoktan seçmeli seçenekler ve örnekteki turun 9. adımda bittiği bilgisi, büyük ihtimalle tur sırasının (oyuncular arasındaki dönüş sırasının) daha kritik olduğu bir mantık bulmacasına işaret ediyor.

Aşağıdaki çözüm ve mantık yürütme, hem soruda geçen “örnek” verileri hem de sonucun hangi adımda ve hangi oyuncuda bitebileceğini analiz ederek ilerleyecektir. En sonunda, kimin kazanabileceği ve olası adım sayısı konusundaki değerlendirmeyle, sorunun çoktan seçmeli cevaplarından birini tutarlı biçimde seçeceğiz.

İçindekiler

  1. Oyunun Kuralları ve Anlaşılmayan Noktalar
  2. Örnek: Nedim 15 Sayısıyla Başladığında 9. Adım Meselesi
  3. Dilan 84 Sayısıyla Başladığında Oyun Sırası
  4. 3 Kişilik Sıra Mantığı ve Hangi Adımda Kim Konuşur?
  5. Seçeneklerin Sırayla Değerlendirilmesi
  6. Adım-Adım Olası Yürütme
  7. Genel Tablo ve Tekrar Eden Döngü
  8. Tahmini Sonuç ve Uygun Çözüm Seçeneği
  9. Kısa Özet Tablosu
  10. Sonuç ve Özeti

1. Oyunun Kuralları ve Anlaşılmayan Noktalar

Soruda aktarılan kurallar şu şekilde özetlenebilir:

  1. Üç oyuncu (Nedim, Burcu, Dilan) sırasıyla sayı söylüyor.
  2. İlk söylenen sayıdan sonra, sonraki oyuncu bir önceki sayıya göre bazı kurallarla küçük bir sayı söylüyor.
  3. “Aralarında asal olan farklı bir sayı” ifadesi, metinde geçen temel kural gibi görünüyor. Ancak örnekteki hamleler bu ifadeyle çelişiyor (Örneğin 15’ten 9’a geçişte 15 ve 9 aralarında asal değildir, çünkü 15 ve 9’un OBEB’i 3’tür).
  4. Kurallardaki muhtemel tutarsızlık, bu oyunun tam mekaniklerini belirsiz hale getiriyor. Belki de “aralarında asal” cümlesinden ziyade farklı bir kural kastedilmiştir (farklı senaryolarda “fark” asal mıdır, OBEB asal mıdır vb.).

Yine de soru bizden şu sonucu istiyor:

  • Dilan’ın ilk adımda (1. adımda) 84 sayısıyla başlattığı bir oyunda, kaçıncı adımda kimin kazanabileceği.

Elimizdeki çoktan seçmeli cevaplar ise şöyledir:

A) Dilan 24. sırada
B) Burcu 25. sırada
C) Burcu 24. sırada
D) Dilan 25. sırada
E) Nedim 25. sırada

Sorunun sonunda “kazanan kişi” ifadesi olduğu için, bu seçeneklerden uygun olanını bulmamız gerekiyor.

2. Örnek: Nedim 15 Sayısıyla Başladığında 9. Adım Meselesi

Soruda verilen örnek:

    1. adım: Nedim 15 sayısıyla başlamış.
    1. adım: Burcu kazanmış.

Bu örnek iki şey anlatıyor:

  1. Oyun 9. hamlede bitiyor.
    1. hamlede sözü tekrar Burcu söylüyor ve oyunu kazanıyor.

Üç kişilik sırayı (Nedim → Dilan → Burcu) şeklinde düşünürsek:

  • Adım 1: Nedim
  • Adım 2: Dilan
  • Adım 3: Burcu
  • Adım 4: Nedim
  • Adım 5: Dilan
  • Adım 6: Burcu
  • Adım 7: Nedim
  • Adım 8: Dilan
  • Adım 9: Burcu

Gerçekten de 9. tur Burcu’ya denk geliyor. Bu demek oluyor ki, ilk başlama hakkı kimdeyse, söz sırası 3’erli döngülerle ilerliyor ve 9. hamle o döngünün 3. hamlesine (yani tekrar Burcu’ya) karşılık geliyor.

3. Dilan 84 Sayısıyla Başladığında Oyun Sırası

Şimdi sorununuza dönelim: “Dilan’ın ilk adımda 84 sayısıyla başlattığı bir oyun” deniliyor. Yani sıra şu hale geliyor:

    1. adım: Dilan
    1. adım: (Dilan’dan sonraki) Burcu
    1. adım: (Burcu’dan sonraki) Nedim
    1. adım: Dilan
    1. adım: Burcu
    1. adım: Nedim
  • … bu şekilde 3’lü döngü akışı tekrarlanıyor.

Bu döngünün genel formülü şöyledir:

  1. Dilan (mod 3 = 1)
  2. Burcu (mod 3 = 2)
  3. Nedim (mod 3 = 0)
  4. Dilan (mod 3 = 1)
  5. Burcu (mod 3 = 2)
  6. Nedim (mod 3 = 0)
  7. Dilan (mod 3 = 1)
    …
    Her adımda, sıradaki oyuncu son söylenen sayıya göre (her ne kural varsa) bir sayı söylüyor. Oyunu bitiren, “artık sayı söyleyemeyecek hale gelen” oyuncunun bir önceki hamlesini yapan kişi oluyor; yani “son geçerli sayıyı” söyleyen kişi kazanıyor.

Elimizdeki çoktan seçmeli şıklar “24. adımda Dilan”, “25. adımda Burcu” vb. gibi ifadeler içeriyor. Dolayısıyla 24. veya 25. adım hangi oyuncuya denk geliyor? sorusunu yanıtlayarak başlayalım.

4. 3 Kişilik Sıra Mantığı ve Hangi Adımda Kim Konuşur?

Üçer kişilik sabit bir döngüde “1. adım kime, 2. adım kime …” gibi dağılımları kolayca mod 3 yöntemiyle inceleyebiliriz. Ancak pratikte listelemek de basit bir çözümdür:

  • Adım 1: Dilan
  • Adım 2: Burcu
  • Adım 3: Nedim
  • Adım 4: Dilan
  • Adım 5: Burcu
  • Adım 6: Nedim
  • Adım 7: Dilan
  • Adım 8: Burcu
  • Adım 9: Nedim
  • Adım 10: Dilan
  • Adım 11: Burcu
  • Adım 12: Nedim
  • Adım 13: Dilan
  • Adım 14: Burcu
  • Adım 15: Nedim
  • Adım 16: Dilan
  • Adım 17: Burcu
  • Adım 18: Nedim
  • Adım 19: Dilan
  • Adım 20: Burcu
  • Adım 21: Nedim
  • Adım 22: Dilan
  • Adım 23: Burcu
  • Adım 24: Nedim
  • Adım 25: Dilan

Tablodan görüyoruz ki:

  • 24. adım → Nedim’e aittir.
  • 25. adım → Dilan’a aittir.
  • 23. adım → Burcu’ya aittir.

Öyleyse seçeneklerden “24. sırada Dilan” ifadesi (A şıkkı) sıra mantığıyla zaten çelişiyor (24. sırada Nedim var). “25. sırada Burcu” (B şıkkı) yine çelişiyor (çünkü 25. sıra Dilan). “Nedim 25. sırada” (E şıkkı) da çelişiyor (25. sıra Dilan). Mantıken sıraya dayalı olarak sadece iki ihtimal kalıyor:

    1. adımda oyunun bitmesi ve kazananın Nedim olması.
    1. adımda oyunun bitmesi ve kazananın Dilan olması.

Çoktan seçmeli şıklara bakıldığında, bu iki olasılık arasından Nedim 24. sırada yer almıyor (çünkü E seçeneği 25. sırada Nedim diyor, o da ters). Ancak “Dilan 25. sırada” (D seçeneği) tam olarak bu döngüyle uyuşuyor. Dolayısıyla sıraya dayalı bakıldığında D seçeneği tek “tutarlı” seçenektir.

5. Seçeneklerin Sırayla Değerlendirilmesi

Sorudaki her seçeneği tek tek kontrol edelim:

  1. A) Dilan 24. sırada

    • Listemizde 24. sırada Nedim var, dolayısıyla çelişkili.

  2. B) Burcu 25. sırada

      1. sırada Dilan var, çelişkili.

  3. C) Burcu 24. sırada

      1. sırada Nedim var, çelişkili.

  4. D) Dilan 25. sırada

      1. sırada gerçekten Dilan var, uyumlu.

  5. E) Nedim 25. sırada

      1. sırada Dilan var, çelişkili.

Yalnızca D) seçeneği sıranın reelliğiyle örtüşüyor.

Tabii ki “oyun 24. adımda bitse ve Nedim kazansa” gibi bir varsayım da matematiksel olarak mümkün olabilirdi. Fakat seçeneklerde “Nedim 24. sırada” ibaresi yok. Seçenekler içinde Nedim’e sırf 25. adımda yer veren E şıkkı var ve bu zaten sıralama nedeniyle mümkün değil. Bu yüzden hangi seçeneğin “doğru” olabileceği netleşiyor: (D) Dilan 25. sırada.

6. Adım-Adım Olası Yürütme

Kuralların tam olarak ne olduğu (fark asal mı, aralarında asal mı, vb.) metinde net anlaşılamasa da, oyunun bir yerde “sayı söyleyemeyecek duruma gelmesi” nedeni ile bittiği öngörülebilir. Örneğin:

  1. Adımda Dilan 84’ü söyledi.
  2. Adımda Burcu, 84’ten farklı ve muhtemelen “oyunun kuralına göre geçerli” bir sayı söyledi (örnekteki gibi 7, 4, vb. bir geçiş).
  3. Adımda Nedim devam etti…
  4. Adımda tekrar Dilan…
    …
    Her turda daha küçük bir sayı veya kuralı tatmin eden bir sayı söyleniyor ve sonunda sıra kime geldiğinde “hiçbir uygun sayı kalmadıysa” veya kural gereği ilerlenemiyorsa, bir önce sayı söyleyen kişi kazanıyor. Diyelim ki bu “uygun sayı kalmadı” anı, 25. adımın sonunda gerçekleşti. O zaman 25. hamleyi yapıp son geçerli sayıyı söyleyen de Dilan olur ve Dilan kazanır.

Tabii dilerseniz her sayı seçimini tek tek listelemek (84’ten başlayıp, 83, 82 … ya da hangi kural geçerliyse) çok zahmetli olabilir. Soruda da genelde sonucu hızlıca görmek için oyuncuların sırası ve oyunun “x. adımda biter” bilgisi devreye sokuluyor.

7. Genel Tablo ve Tekrar Eden Döngü

Aşağıda basit bir tabloyla, “Dilan 1. adımda başlarsa” hangi adımda kimin söz alacağını özetliyoruz:

Adım (n) Söyleyen Kişi n mod 3 (0= Nedim, 1= Dilan, 2= Burcu)
1 Dilan 1 (Dilan)
2 Burcu 2 (Burcu)
3 Nedim 0 (Nedim)
4 Dilan 1 (Dilan)
5 Burcu 2 (Burcu)
6 Nedim 0 (Nedim)
7 Dilan 1 (Dilan)
8 Burcu 2 (Burcu)
9 Nedim 0 (Nedim)
10 Dilan 1 (Dilan)
11 Burcu 2 (Burcu)
12 Nedim 0 (Nedim)
13 Dilan 1 (Dilan)
14 Burcu 2 (Burcu)
15 Nedim 0 (Nedim)
16 Dilan 1 (Dilan)
17 Burcu 2 (Burcu)
18 Nedim 0 (Nedim)
19 Dilan 1 (Dilan)
20 Burcu 2 (Burcu)
21 Nedim 0 (Nedim)
22 Dilan 1 (Dilan)
23 Burcu 2 (Burcu)
24 Nedim 0 (Nedim)
25 Dilan 1 (Dilan)

Bu tablo, sorunun “Dilan 84 ile başlattığında kim kaçıncı sırada bitirir?” sorusunun kritik parçasını oluşturur. Seçenek ithafıyla:

  • (A) Dilan 24. sırada → Tabloya göre 24. sırada Dilan değil Nedim var.
  • (B) Burcu 25. sırada → 25. sırada Burcu değil Dilan var.
  • (C) Burcu 24. sırada → 24. sırada Burcu değil Nedim var.
  • (D) Dilan 25. sırada → 25. sırada gerçekten Dilan bulunuyor.
  • (E) Nedim 25. sırada → 25. sırada Nedim değil Dilan var.

Dolayısıyla açık ara (D) şıkkı öne çıkıyor.

8. Tahmini Sonuç ve Uygun Çözüm Seçeneği

Matematiksel veya mantık bulmacalarında, bazen tam kural metninin uygulaması karmaşık olur; ancak çoktan seçmeli sınavlarda oyuncu sırası büyük ipucu sağlar. Soruyu hazırlayanlar da genellikle bir “son adım sayısını” hesaplatırlar ve kimin sırasına denk gelip oyunu kazanacağını sorduklarında, en çok bu döngü görülür.

  • Örnekte Nedim ilk başta 15 ile başlayıp 9. adımda Burcu kazanmış. (Başlatan Nedim olunca 1. → Nedim, 2. → Dilan, 3. → Burcu, 4. → Nedim, 5. → Dilan, 6. → Burcu, 7. → Nedim, 8. → Dilan, 9. → Burcu = Kazanan)
  • Şimde 84 sayısıyla Dilan başlatırsa (1. adım = Dilan), 25. adım tekrar Dilan’a denk gelir. Bu da sorudaki mantığın (D) şıkkıyla uyumlu olduğunu gösterir.

Dolayısıyla “Dilan 25. sırada” ifadesi, hem sıra döngüsünün hem de sorunun seçenekleri içindeki tek tutarlı cevaptır.

9. Kısa Özet Tablosu

Aşağıya, sorudaki temel bilgileri ve sonucu kısaca tablo halinde ekleyelim:

Başlangıç (1. Adım) Oyuncu Sırası Örnek Senaryo Kazanan Kişi & Adım
15’le Başlangıç 1) Nedim → 2) Dilan → 3) Burcu → … diye döner 9. Adımda Burcu kazanıyor. (Örnek) Burcu, 9. adım
84’le Başlangıç 1) Dilan → 2) Burcu → 3) Nedim → … diye döner Soruda verilmek istenen senaryo (D) Seçeneğe göre 25. adım Dilan

Görüldüğü üzere, Dilan’ın başlattığı senaryoda kazanma ihtimali 25. hamlede gerçekleşiyor ve çoktan seçmeli cevapların analizi de bu çıktıyı doğruluyor.

10. Sonuç ve Özeti

Bu oyunda net kural (aralarında asal, fark asal, vb.) klavuzu biraz muğlak olsa da, çoktan seçmeli sorularda oyuncuların sırayla hangi hamlede konuşacağı bilgisi yeterince yol göstericidir. Bu çerçevede:

  1. Döngü Analizi: 3 kişilik bir rota var. Başlama sırası kime aitse, 3’erli döngü o kişiden başlar.
  2. Örnek Uygulama: Nedim’in başladığı örnekte 9. hamlede Burcu kazanıyor.
  3. Dilan’ın Başlaması: Sıra (Dilan → Burcu → Nedim → Dilan → …) şeklinde ilerler. 25. hamle tekrar Dilan’a denk gelir.
  4. Seçenek Karşılaştırması: Verilen seçeneklerin sadece (D) “Dilan 25. sırada” ifadesi sıra döngüsüyle uyumludur.

Bu yüzden sorunun doğru cevabı, Dilan’ın 25. sırada oyunu kazanabileceğidir.

Cevap:
(D) Dilan 25. sırada

@serap_gundogan