!17674618067103971386481642385093|375x500 [Link Silindi]
Aralarında Asal İki Doğal Sayının EKOK’u ve Toplamlarının En Az Olması
Önemli Noktalar
- Aralarında asal sayılar, ortak böleni sadece 1 olan sayılardır.
- İki aralarında asal sayının EKOK’u, sayıların çarpımına eşittir.
- Soruda EKOK 60 olduğuna göre, bu iki sayının çarpımı 60’tır.
- Bu koşulu sağlayan ve toplamları en az olan sayı çifti bulunmalıdır.
Aralarında asal iki doğal sayının EKOK’u 60 ise, bu iki sayının çarpımı da 60’tır. Çünkü aralarında asal sayılar için EKOK × EBOB = sayıların çarpımı formülü vardır ve EBOB = 1 olduğunda EKOK = sayıların çarpımı olur. Böylece çarpımları 60 olan, aralarında asal iki sayı arıyoruz.
Bu sayıları bulup toplamları en az olanı seçeriz.
İçindekiler
- Aralarında Asal Sayılar ve EKOK
- Çarpımı 60 Olan Aralarında Asal Sayı Çiftleri
- Toplamları En Az Olan Çiftin Bulunması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Aralarında Asal Sayılar ve EKOK
Aralarında asal sayılar, ortak bir asal böleni olmayan sayılardır, yalnızca 1’e bölünürler. Örneğin, 3 ve 4 aralarında asaldır.
Bu özellik nedeniyle:
$$ \text{EKOK}(a,b) = a \times b \quad \text{eğer } \gcd(a,b) = 1 $$
Burada \gcd(a,b) sayıların EBOB’u (En Büyük Ortak Bölen) anlamındadır.
Pro Tip: Eğer EKOK’u verilen iki sayının aralarında asal olduğunu biliyorsanız, sayılar çarpımına hemen EKOK diyebilirsiniz.
2. Çarpımı 60 Olan Aralarında Asal Sayı Çiftleri
60’ın asal çarpanları:
$$ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 $$
İki sayının çarpımı 60 olmalı ve ortak asal çarpanları olmamalı (ortak faktörü 1 olmalı).
Çiftleri deneyelim:
| Sayı 1 | Sayı 2 | Aralarında Asal mı? | Toplamı |
|---|---|---|---|
| 1 | 60 | Evet | 61 |
| 2 | 30 | Hayır (ortak 2) | - |
| 3 | 20 | Evet | 23 |
| 4 | 15 | Hayır (ortak 1 mi? Hayır, çünkü 4 ve 15: 4’ün asal çarpanı 2, 15’in 3 ve 5) 4 ve 15 aralarında asaldır. Toplam: 19 | |
| 5 | 12 | Hayır (ortak 3) | - |
| 6 | 10 | Hayır (ortak 2) | - |
Kontrol edeceğimiz aralarında asal çiftler: (1,60), (3,20) ve (4,15)
3. Toplamları En Az Olan Çiftin Bulunması
Bu üç çiftin toplamları:
- 1 + 60 = 61
- 3 + 20 = 23
- 4 + 15 = 19
Bu durumda toplamı en az olan çift: 4 ve 15
Bu sayılar aralarında asaldır ve EKOK’ları 60’tır, sorunun cevabı 19 olur.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Problemin Konusu | Aralarında asal iki sayının EKOK’u 60 olan sayılar |
| Çözüm Yolu | Çarpımı EKOK’a eşit → 60 |
| Aralarında Asal Sayı Çiftleri | (1, 60), (3, 20), (4, 15) |
| Toplamı En Az Olan Çift | (4, 15) → 19 |
| Doğru Cevap | B) 19 |
Sık Sorulan Sorular
1. Aralarında asal sayıların EKOK’u neden çarpımlarına eşittir?
Çünkü aralarında asal sayılar ortak asal böleni sadece 1 olduğundan, EKOK hesaplama formülünde EBOB=1 olur ve EKOK = sayıların çarpımıdır.
2. EKOK nasıl bulunur?
EKOK, sayıların asal çarpanlarının en yüksek güçlerinin çarpımıdır. Alternatif olarak EKOK(a,b) = (a × b) / EBOB(a,b).
3. Sayıların toplamı neden önemli olabilir?
Toplamı en az yapmak genellikle örnek problemler için istenir çünkü farklı sayı çiftleri aynı EKOK’u verebilir, ama toplamları farklı olur.
Sonraki Adımlar
Aralarında asal kavramını pekiştirmek için “EBOB, EKOK ve Aralarında Asal Sayılar” konusunu detaylı öğrenmek ister misiniz? Veya bu türden farklı karmaşıklıkta problemlerle pratik yapmanın faydası olur mu?
Aralarında asal olan iki doğal sayının EKOK’u 60’tır. Bu iki sayının toplamı en az kaçtır?
Önemli Noktalar
- Aralarında asal sayılar için \mathrm{EKOK}(a,b)=a\cdot b.
- a\cdot b=60 eşitliğini sağlayan pozitif çarpan çiftleri incelenir.
- En küçük toplamı veren çift $(5,12)$’dir ve toplamları 17’dir.
Doğru Cevap: 17
İçindekiler
Çarpanların Listelenmesi
60 sayısının pozitif çarpan çiftleri ve aralarında asal olma durumu:
- (1, 60): \gcd=1, toplam = 61
- (2, 30): \gcd=2, toplam = 32 (elendi)
- (3, 20): \gcd=1, toplam = 23
- (4, 15): \gcd=1, toplam = 19
- (5, 12): \gcd=1, toplam = 17
- (6, 10): \gcd=2, toplam = 16 (elendi)
Bu listeden en küçük toplamı 17 ile (5,12) verdiği için cevap 17’dir.
Özet Tablosu
| Numbers a,b | \gcd(a,b) | a\cdot b | Toplam |
|---|---|---|---|
| (1, 60) | 1 | 60 | 61 |
| (3, 20) | 1 | 60 | 23 |
| (4, 15) | 1 | 60 | 19 |
| (5, 12) | 1 | 60 | 17 |
SSS
- S: Neden EKOK, çarpımına eşit alınıyor?
C: Aralarında asal sayılar için \mathrm{EKOK}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}=\frac{a\cdot b}{1}=a\cdot b. - S: (6, 10) çifti neden kabul edilmedi?
C: Çünkü \gcd(6,10)=2\neq1, aralarında asal değiller. - S: Farklı bir toplam istenseydi nasıl ilerlerdik?
C: Üstteki tabloya bakarak istenen aralığa uyan çifti seçerdik.
Başka bir EKOK problemi çözmek ister misiniz? @Ummugulsum_Yilmaz