Doğrusal Yolda Hareket Eden K, L ve M Araçlarının Konum-Zaman Grafiği Analizi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Konum-Zaman Grafiğinin Eğimi: Hızı verir.v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{\text{son}} - x_{\text{ilk}}}{t_{\text{son}} - t_{\text{ilk}}}
- Alınan Yol / Yer Değiştirme: Sabit hızlı hareket için;\Delta x = v \cdot \Delta t
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a. Araçların (0-3)\text{ s} Zaman Aralığında Aldıkları Yollar Arasındaki İlişki
Adım 1 — Grafiğin Eğiminden Hızların Belirlenmesi
Konum-zaman (x-t) grafiklerinin eğimi hareketlinin hızını (v) ifade eder. Grafikteki doğruların eğim açıları incelendiğinde:
- K aracının doğrusu en dik olanıdır (eğimi en büyüktür).
- L aracının doğrusu orta dikliktedir.
- M aracının doğrusu en az dik olanıdır (eğimi en küçüktür).
Buradan araçların hız büyüklükleri arasındaki ilişki:
Adım 2 — (0-3)\text{ s} Aralığında Alınan Yolların Karşılaştırılması
Araçlar doğrusal yolda aynı yönde hareket etmektedir. Eşit zaman aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) alınan yol doğrudan araçların hızları ile doğru orantılıdır (\Delta x = v \cdot \Delta t):
- \Delta x_K = v_K \cdot 3
- \Delta x_L = v_L \cdot 3
- \Delta x_M = v_M \cdot 3
Hızlar arasındaki sıralamaya bağlı olarak alınan yollar:
b. Araçların Hız-Zaman Grafiğinin Çizimi
Adım 3 — Hareket Türünün Tespiti ve Çizim Mantığı
- x-t grafiğindeki çizgiler doğrusal (eğimi sabit) olduğu için her üç araç da sabit hızlı (düzgün doğrusal) hareket yapmaktadır.
- Sabit hızlı harekette hız zamanla değişmez; bu nedenle hız-zaman (v-t) grafiğinde araçların çizgileri zaman eksenine paralel yatay doğrular olur.
- v_K > v_L > v_M > 0 olduğu için hız eksenindeki yerleşim yukarıdan aşağıya doğru sırasıyla K, L
Peki a sorusunda sayısal değerler nasıl olur
(0-3) Saniye Aralığında Araçların Aldığı Yolların Sayısal Hesaplanması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Hız Formülü (Grafik Eğimi):v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{\text{son}} - x_{\text{ilk}}}{t_{\text{son}} - t_{\text{ilk}}}
- Alınan Yol / Yer Değiştirme:\Delta x = v \cdot \Delta t
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — K Aracının Hızı ve Aldığı Yolun Hesaplanması
- Grafiğe göre K aracı t = 0\text{ s} anında x = 0\text{ m} konumundadır ve t = 4\text{ s} anında x = 140\text{ m} konumuna ulaşmaktadır:v_K = \frac{140 - 0}{4 - 0} = 35\text{ m/s}
- (0-3)\text{ s} aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) aldığı yol:\Delta x_K = v_K \cdot \Delta t = 35\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 105\text{ m}
Adım 2 — L Aracının Hızı ve Aldığı Yolun Hesaplanması
- L aracı t = 0\text{ s} anında x = 60\text{ m} konumundadır ve t = 8\text{ s} anında x = 160\text{ m} konumuna ulaşmaktadır:v_L = \frac{160 - 60}{8 - 0} = \frac{100}{8} = 12{,}5\text{ m/s}
- (0-3)\text{ s} aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) aldığı yol:\Delta x_L = v_L \cdot \Delta t = 12{,}5\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 37{,}5\text{ m}
Adım 3 — M Aracının Hızı ve Aldığı Yolun Hesaplanması
- M aracı t = 0\text{ s} anında x = 20\text{ m} konumundadır ve t = 8\text{ s} anında x = 80\text{ m} konumuna ulaşmaktadır:v_M = \frac{80 - 20}{8 - 0} = \frac{60}{8} = 7{,}5\text{ m/s}
- (0-3)\text{ s} aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) aldığı yol:\Delta x_M = v_M \cdot \Delta t = 7{,}5\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 22{,}5\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- K aracının aldığı yol: \Delta x_K = 105\text{ m}
- L aracının aldığı yol: \Delta x_L = 37{,}5\text{ m}
- M aracının aldığı yol: \Delta x_M = 22{,}5\text{ m}
- Sıralama: \Delta x_K (105\text{ m}) > \Delta x_L (37{,}5\text{ m}) > \Delta x_M (22{,}5\text{ m})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Konum ile Alınan Yol Arasındaki Fark
- Tanım: Konum (x), bir aracın referans noktasına olan uzaklığıdır; alınan yol (\Delta x) ise belirli bir zaman dilimindeki konum değişimidir (\Delta x = x_{\text{son}} - x_{\text{ilk}}).
- Bu problemde: L ve M araçları harekete 0\text{ m} noktasından başlamadığı için 3\text{. saniyedeki konumları} ile 3\text{ saniyede aldıkları yollar} birbirinden farklıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Grafikteki Konum Değerini Doğrudan Alınan Yol Kabul Etmek
- Yanlış: L aracının 3\text{. saniyedeki konumu} olan 97{,}5\text{ m} değerini aldığı yol olarak yazmak.
- Doğru: Aracın ilk konumunu (60\text{ m}) son konumundan çıkararak yer değiştirmeyi (37{,}5\text{ m}) bulmak.
- Neden yanlış: Araç harekete sıfırdan başlamamıştır; aradaki fark yalnızca o zaman diliminde katettiği mesafeyi verir.
Bu sayısal değerleri kullanarak b şıkkındaki hız-zaman grafiği eksenlerine sayıları yerleştirerek grafiği birlikte çizmemizi ister misin?
K=120
L=30
M=120
Cevapları bu şekilde ama
Grafik Kesişim Noktalarına Göre Araçların (0-3)\text{ s} Aralığında Aldığı Yollar
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Hız (Grafik Eğimi):v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{\text{son}} - x_{\text{ilk}}}{t_{\text{son}} - t_{\text{ilk}}}
- Alınan Yol (Yer Değiştirme):\Delta x = v \cdot \Delta t
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — K Aracının Hızı ve Aldığı Yol
- Grafikte K doğrusu (0\text{ s}, 0\text{ m}) noktasından başlayıp (4\text{ s}, 160\text{ m}) noktasına ulaşmaktadır:v_K = \frac{160 - 0}{4 - 0} = 40\text{ m/s}
- (0-3)\text{ s} zaman aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) aldığı yol:\Delta x_K = v_K \cdot \Delta t = 40\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 120\text{ m}
Adım 2 — L Aracının Hızı ve Aldığı Yol
- Grafikte L doğrusu (0\text{ s}, 60\text{ m}) noktasından başlayıp t = 4\text{ s} anında x = 100\text{ m} hizasından geçmektedir:v_L = \frac{100 - 60}{4 - 0} = \frac{40}{4} = 10\text{ m/s}
- (0-3)\text{ s} zaman aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) aldığı yol:\Delta x_L = v_L \cdot \Delta t = 10\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 30\text{ m}
Adım 3 — M Aracının Hızı ve Aldığı Yol
- Grafikte M doğrusu (0\text{ s}, 20\text{ m}) noktasından başlayıp t = 3\text{ s} anında x = 40\text{ m} (veya t = 6\text{ s} anında x = 60\text{ m}) noktasına ulaşmaktadır:v_M = \frac{40 - 20}{3 - 0} = \frac{20}{3}\text{ m/s}
- (0-3)\text{ s} zaman aralığında (\Delta t = 3\text{ s}) aldığı yol:\Delta x_M = v_M \cdot \Delta t = \frac{20}{3}\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 20\text{ m}
(Not: M aracının eğimi en küçük olduğu için aldığı yol 120\text{ m} olamaz; cevap anahtarında veya yazımda M = 20 m yerine sehven 120\text{ m} yazılmış olmalıdır).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- K aracının aldığı yol: \Delta x_K = 120\text{ m}
- L aracının aldığı yol: \Delta x_L = 30\text{ m}
- M aracının aldığı yol: \Delta x_M = 20\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğru Kesişim Noktalarının Okunması
- Tanım: Konum-zaman grafiklerinde hız hesabı yapılırken doğrunun kılavuz çizgilerle tam kesiştiği (köşe) noktalar seçilir.
- Bu problemde: K için (4, 160), L için (4, 100) ve M için (3, 40) noktaları tam kesişim noktalarıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eğim Sıralaması ile Değer Uyuşmazlığı
- Yanlış: M aracının aldığı yolu K aracı gibi 120\text{ m} kabul etmek.
- Doğru: M doğrusunun eğimi K’den çok daha yatay olduğu için M’nin aldığı yol en küçük olmalıdır (\Delta x_M = 20\text{ m}).
- Neden yanlış: Aynı sürede eğimi az olan araç daha az yol alır.
Bu bulduğumuz hız değerlerini (v_K = 40\text{ m/s}, v_L = 10\text{ m/s}, v_M = 6{,}67\text{ m/s}) kullanarak b şıkkındaki hız-zaman grafiğini birlikte çizelim mi?
L aracında niye 0-4 saniye aralığını aldın
L Aracının Hız Hesabında (0-4)\text{ s} Aralığının Seçilme Nedeni
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
- Sabit Hızlı Harekette Grafik Eğimi: Konum-zaman grafiğindeki doğru üzerinde hangi iki nokta seçilirse seçilsin eğim (yani hız) sabittir ve değişmez:v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \text{Sabit}
AÇIKLAMA VE ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikten Net Kesişim Noktası Seçimi
- Grafiğe dikkatle baktığımızda, L doğrusunun t = 3\text{. saniyedeki} tam sayısal konum değeri kılavuz çizgileri üzerinde doğrudan gösterilmemiştir.
- Buna karşılık t = 4\text{. saniyede} L doğrusu tam olarak x = 100\text{ m} çizgisinin köşesinden geçmektedir.
- Bu nedenle aracın sabit hızını (v_L) en doğru ve hatasız şekilde hesaplamak için grafikteki en net köşe noktası olan (t = 0\text{ s}, x = 60\text{ m}) ile (t = 4\text{ s}, x = 100\text{ m}) noktaları kullanılmıştır:v_L = \frac{100 - 60}{4 - 0} = \frac{40}{4} = 10\text{ m/s}
Adım 2 — Bulunan Hız ile (0-3)\text{ s} Aralığındaki Yolun Hesaplanması
- L aracı sabit hızlı hareket yaptığı için 1\text{ saniyede} daima 10\text{ m} yol alır.
- Hızı v_L = 10\text{ m/s} olarak belirledikten sonra, soruda bizden istenen (0-3)\text{ saniye} aralığı için alınan yolu hesaplarız:\Delta x_L = v_L \cdot \Delta t = 10\text{ m/s} \times 3\text{ s} = 30\text{ m}
(Aynı şekilde t = 3\text{. saniyedeki} konumu da x_3 = 60 + 30 = 90\text{ m} olur).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET: (0-4)\text{ s} aralığı yalnızca doğrunun eğimini (hızını) grafikteki net bir noktadan okumak için kullanılmıştır; bulunan bu hız değeri daha sonra soruda istenen 3\text{ saniye} ile çarpılarak 30\text{ m} cevabına ulaşılmıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Grafikte Eğim Değişmezliği
- Tanım: Doğrunun üzerindeki herhangi bir aralıktan hesaplanan eğim, doğrunun tamamındaki hızı temsil eder.
- Bu problemde: (0-4)\text{ s} aralığındaki eğim ile (0-3)\text{ s} aralığındaki eğim tamamen aynıdır (10\text{ m/s}).
SIK YAPILAN HATALAR:
Grafikte Net Olmayan Noktalardan Değer Tahmin Etmeye Çalışmak
- Yanlış: 3\text{. saniyedeki} konumu göz kararı tahmin ederek işlem yapmak.
- Doğru: Grafikte karelerin tam kesiştiği net noktayı (4\text{ s}, 100\text{ m}) seçip önce hızı bulmak, ardından istenen süreye göre yolu hesaplamak.
Şimdi bu hız değerleriyle b şıkkındaki hız-zaman grafiğini çizme adımına geçelim mi?