[BD] ap [EC] = \{F\}
[DC] \perp [BC]
[DA] \perp [AB]
|AB| = |BC|
|AE| = 2 cm
|DE| = 4 cm
olduğuna göre, \frac{|EF|}{|EC|} oranı kaçtır?
A) \frac{2}{3}
B) \frac{1}{2}
C) \frac{2}{5}
D) \frac{3}{5}
E) \frac{4}{5}
Deltoid Özellikleri ve Üçgende İç Açıortay Teoremi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Hipotenüsleri ve birer dik kenarları eşit olan dik üçgenler eştir (RHS eşliği). Bir üçgende İç Açıortay Teoremi’ne göre bir köşeye ait iç açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların uzunlukları oranına eşittir:
\frac{|EF|}{|FC|} = \frac{|DE|}{|DC|}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Dik Üçgenlerin Eşliği ve Kenar Uzunluğunun Bulunması
Şekilde m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{DCB}) = 90^\circ, [BD] ortak hipotenüs ve |AB| = |BC| olarak verilmiştir. Hipotenüs-kenar (A.K.A.) eşliği gereği:
\triangle DAB \cong \triangle DCB
Bu eşlikten dolayı ABCD bir deltoiddir ve kenar uzunlukları eşittir:
|CD| = |AD| = |AE| + |ED| = 2 + 4 = 6\text{ cm}
Adım 2 — Açıortay Doğrusunun Belirlenmesi
Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşit olduğundan [BD] köşegeni, \widehat{ADC} tepe açısının açıortayıdır. E noktası [AD] doğru parçası üzerinde yer aldığından \widehat{EDC} açısı ile \widehat{ADC} açısı aynıdır. Dolayısıyla [DF] doğru parçası, ECD üçgeninde \widehat{EDC} açısına ait iç açıortay doğrusudur.
Adım 3 — İç Açıortay Teoreminin Uygulanması
ECD üçgeninde [DF] iç açıortay olduğuna göre kenar ve parça oranları yazılır:
\frac{|EF|}{|FC|} = \frac{|DE|}{|CD|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Buradan |EF| = 2k ve |FC| = 3k denilirse, doğru parçasının tamamı |EC| = 2k + 3k = 5k olur. İstenen oran:
\frac{|EF|}{|EC|} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5}
CEVAP: C) \frac{2}{5} \left(\frac{|EF|}{|EC|} = \frac{2}{5}\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Deltoidde simetri ekseni olan köşegen açıortay görevi görür. Soruda E noktasının AD kenarı üzerinde verilmesi, DF’nin doğrudan \triangle ECD üçgeninin iç açıortayı olduğunu görmemizi sağlayan kritik adımdır. Orantı kurulurken |EF| / |FC| yerine tüm uzunluk |EC| istendiğine dikkat edilmelidir.