- A pozitif bir tam sayı olmak üzere,
Anin asal bölenleri toplamı
şeklinde tanımlaniyor.
Buna göre,
eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç tane A sayısı
vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E)7
Bir Sayının Asal Bölenleri Toplamı 10 Olan İki Basamaklı Sayıları Bulma
KULLANILAN KURAL: Bir sayının asal bölenleri, o sayıyı tam bölen ve aynı zamanda asal olan sayılardır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Asal Bölenler Toplamı 10 Olan Asal Sayı Kombinasyonlarını Belirle
Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Toplamı 10 eden asal sayı gruplarını bulmalıyız.
- Sadece 1 asal sayı: Asal sayı 10 olamaz çünkü 10 asal değildir.
- 2 asal sayının toplamı:
- 3 + 7 = 10
- 3 asal sayının toplamı:
- 2 + 3 + 5 = 10
Adım 2 — Her Bir Asal Bölen Kombinasyonu İçin İki Basamaklı A Sayılarını Bul
Durum 1: Asal bölenleri 3 ve 7 olan A sayıları (3+7=10)
A sayısı 3 ve 7’nin katı olmalıdır, yani 3 \times 7 = 21’in katı olmalıdır.
- 21 \times 1 = 21 (İki basamaklı)
- 21 \times 2 = 42 (İki basamaklı)
- 21 \times 3 = 63 (İki basamaklı)
- 21 \times 4 = 84 (İki basamaklı)
- 21 \times 5 = 105 (Üç basamaklı, geçersiz)
Bu sayılardan sadece 3 ve 7 asal bölenlerine sahip olanları belirleyelim.
- 21 = 3 \times 7. Asal bölenleri {3, 7}. Toplam = 3+7=10.
- 42 = 2 \times 3 \times 7. Asal bölenleri {2, 3, 7}. Toplam = 2+3+7=12.
(Asal bölenleri 2 olduğu için toplam değişti.) - 63 = 3^2 \times 7. Asal bölenleri {3, 7}. Toplam = 3+7=10.
- 84 = 2^2 \times 3 \times 7. Asal bölenleri {2, 3, 7}. Toplam = 2+3+7=12.
Bu durumdan gelen A sayıları: 21, 63 (2 tane)
Durum 2: Asal bölenleri 2, 3 ve 5 olan A sayıları (2+3+5=10)
A sayısı 2, 3 ve 5’in katı olmalıdır, yani 2 \times 3 \times 5 = 30’un katı olmalıdır.
- 30 \times 1 = 30 (İki basamaklı)
- 30 \times 2 = 60 (İki basamaklı)
- 30 \times 3 = 90 (İki basamaklı)
- 30 \times 4 = 120 (Üç basamaklı, geçersiz)
Bu sayılardan sadece 2, 3 ve 5 asal bölenlerine sahip olanları belirleyelim.
- 30 = 2 \times 3 \times 5. Asal bölenleri {2, 3, 5}. Toplam = 2+3+5=10.
- 60 = 2^2 \times 3 \times 5. Asal bölenleri {2, 3, 5}. Toplam = 2+3+5=10.
- 90 = 2 \times 3^2 \times 5. Asal bölenleri {2, 3, 5}. Toplam = 2+3+5=10.
Bu durumdan gelen A sayıları: 30, 60, 90 (3 tane)
Adım 3 — Toplam İki Basamaklı A Sayısı Sayısını Bul
Durum 1’den 2 sayı geldi: 21, 63
Durum 2’den 3 sayı geldi: 30, 60, 90
Toplam farklı A sayısı: 2 + 3 = 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Bölen
- Tanım: Bir sayıyı tam bölen ve aynı zamanda kendisi de asal olan sayılara asal bölen denir. Örneğin, 12’nin asal bölenleri 2 ve 3’tür (12 = 2^2 \times 3).
- Bu problemde: A sayılarının asal bölenleri belirlenip toplamları 10’a eşitlendi.
2. İki Basamaklı Sayılar
- Tanım: 10’dan 99’a kadar olan sayılar, iki basamaklı tam sayılardır.
- Bu problemde: Bulunan A sayılarının bu aralıkta olması gerekmektedir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Fazladan Asal Bölenleri Gözden Kaçırmak
- Yanlış: Sadece 3 \times 7 = 21 veya 2 \times 3 \times 5 = 30 gibi en küçük katları kontrol etmek. Örneğin, 42’nin asal bölenlerinin toplamını 3+7=10 zannetmek.
- Doğru: Bir sayının katlarını alırken (örn: 21k), oluşan yeni sayının asal bölenlerinin sadece istenen asal sayılardan oluştuğunu doğrulamak. Örneğin, 42 = 2 \times 3 \times 7 olduğundan, asal bölenleri \{2, 3, 7\} olur ve toplamları 2+3+7=12 olur, bu da istenen 10 değildir.
- Neden yanlış: Çarpan olarak eklenen her asal sayı (örneğin 21 \times 2 = 42 durumunda 2 sayısı), sayının asal bölenleri listesine dahil olur ve asal bölenler toplamını değiştirir.
Bu konuyu pekiştirmek için asal bölenleri toplamı 8 olan iki basamaklı kaç tane A sayısı olduğunu bulmak ister misin?