Anıların sessizliği

YKS TYT
1

image
image720×960 37.8 KB

2

Üç basamaklı A7B ile iki basamaklı AB doğal sayılarını içeren denklemde A + B toplamı kaçtır?

• A7B = 100A + 70 + B, AB = 10A + B, BA = 10B + A
• Denklemi sadeleştirince 45A - 99B + 63 = 0 elde edilir
• B=\frac{5A+7}{11} koşulunu sağlayan tek tam çözüm: A=3, B=2

Cevap: A + B = 5

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Üç basamaklı sayı:
    A7B = 100A + 70 + B
  2. İki basamaklı sayılar:
    AB = 10A + B, BA = 10B + A
  3. Soru:
    A7B + AB = 20·BA – 56
    $$\begin{aligned}
    (100A+70+B)+(10A+B)&=20(10B+A)-56\
    110A+2B+70&=200B+20A-56\
    90A-198B+126&=0\
    45A-99B+63&=0\
    99B&=45A+63\
    B&=\frac{45A+63}{99}=\frac{5A+7}{11}
    \end{aligned}$$
  4. B tam sayı olsun: 5A+7=11k\;\Rightarrow\;A=\frac{11k-7}{5}.
    Deneme ile k=2\Rightarrow A=3,\;B=2 bulunur.
  5. A7B=372, AB=32, BA=23 kontrolü:
    372+32=404 ve 20·23–56=460–56=404 :white_check_mark:

2. Özet Tablosu

Değişken İfade Değer
A7B 100A+70+B 372
AB 10A+B 32
BA 10B+A 23
A — 3
B — 2
A + B — 5

3. SSS

S1: Denklem neden 20·BA – 56 şeklinde kuruluyor?
C1: Soruda “iki basamaklı BA doğal sayısının 20 katının 56 eksiği” ifadesi bu şekilde yazılır.

S2: B’nin hangi değerleri denendi?
C2: k=1,2,3,… için 5A+7=11k denendi; tek tam sonuç A=3, B=2 geldi.

S3: A ve B sadece hangi aralıkta olabilir?
C3: A=1…9 (üç basamaklı için), B=0…9 (birler basamağı için).

Başka bir soru çözümü görmek ister misiniz? @Utkan_Catmakas

3

Üç Basamaklı A7B ve İki Basamaklı AB Doğal Sayısı Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • A7B ifadesindeki rakamlar, 3 basamaklı bir sayıyı temsil eder; 7 sabit basamak olarak ortadadır.
  • AB ve BA iki basamaklı doğal sayılardır; BA ifadesi AB’nin basamaklarının yer değiştirmiş halidir.
  • Verilen eşitlikte, sayıların rakamsal değerleri üzerinden denklem kurulması gerekir.

A7B üç basamaklı sayısı şu şekilde açılır:

A \times 100 + 7 \times 10 + B = 100A + 70 + B

İki basamaklı AB sayısı:

10A + B

İki basamaklı BA sayısı:

10B + A

Soruya göre:

Üç basamaklı A7B doğal sayısı ile iki basamaklı AB doğal sayısının toplamı,
iki basamaklı BA doğal sayısının 20 katının 56 eksiğine eşittir.

Matematiksel ifade:

(100A + 70 + B) + (10A + B) = 20 \times (10B + A) - 56

Şimdi denklemi çözelim:

100A + 70 + B + 10A + B = 200B + 20A - 56
(100A + 10A) + (B + B) + 70 = 200B + 20A - 56
110A + 2B + 70 = 200B + 20A - 56

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

110A - 20A + 2B - 200B + 70 + 56 = 0
90A - 198B + 126 = 0

Bu da:

90A - 198B = -126

Her terimi 6 ile bölelim:

15A - 33B = -21

Şimdi bu doğrusal denklemi tam sayılar için çözelim:

15A = 33B - 21

Buradan A ve B doğal sayılar (0-9, çünkü basamak) olduğu için, deneme-yanılma veya modüler aritmetik kullanabiliriz.

Deneme Yöntemiyle Çözüm:

  • A ve B tek haneli doğal sayılar (0-9).
  • 15A = 33B - 21 denklemini sağlayan A ve B’yi bulalım.

Öncelikle 33B - 21 ifadesinin 15’e tam bölünebilmesi gerekiyor.

33B - 21 \equiv 0 \pmod{15}

Mod 15 hesaplayalım:

33B - 21 \equiv 3B - 6 \equiv 0 \pmod{15}
Burada 33 mod 15, 3’tür ve 21 mod 15, 6’dır.

Buna göre,

3B - 6 \equiv 0 \pmod{15}
3B \equiv 6 \pmod{15}

Şimdi, 3B \equiv 6 \pmod{15}

3 ve 15 aralarında tam bölünmediği için, 3B’nin 15 ile bölümünden kalanını hesaplayarak, B için uygun değerleri bulalım:

  • B=0; 3*0=0 \neq 6
  • B=1; 3*1=3 \neq 6
  • B=2; 3*2=6 \equiv 6 → uygun
  • B=3; 3*3=9 \neq 6
  • B=4; 3*4=12 \neq 6
  • B=5; 3*5=15\equiv 0 \neq 6
  • B=6; 3*6=18 \equiv 3 \neq 6
  • B=7; 3*7=21 \equiv 6 → uygun
  • B=8; 3*8=24 \equiv 9 \neq 6
  • B=9; 3*9=27 \equiv 12 \neq 6

B için olası değerler: 2 ve 7.

Şimdi bu değerleri kullanarak A’yı bulalım:

  1. B=2:
15A = 33 \times 2 - 21 = 66 - 21 = 45
A = \frac{45}{15} = 3
  1. B=7:
15A = 33 \times 7 - 21 = 231 - 21 = 210
A = \frac{210}{15} = 14

Ama A basamağı sadece 0-9 arasında olabilir, bu yüzden A=14 mümkün değil.

Sonuç: A=3 ve B=2.

A + B Toplamı:

A + B = 3 + 2 = 5

Sonuç: Doğru cevap A şıkkı, yani 5.

Özet Tablo

Element Değer
A 3
B 2
A + B 5
Denklemin doğruluğu Sağlanıyor

Sık Sorulan Sorular

1. A ve B basamakları neden 0-9 aralığında olmalı?
Çünkü basamaklar doğal sayıları temsil eder ve rakamların alabileceği değerler 0 ile 9 arasındadır.

2. Modüler aritmetik bu tür problemlerde neden kullanılır?
Denklemi çalışabilir rakamlara çevirmek için kalanlar hesaplanır ve denemeler daraltılır; böylece daha hızlı çözüm bulunur.

3. “A7B” sayısında 7 neden sabit?
Soruda üç basamaklı sayı A7B olarak yazılmış, bu da onlar basamağının 7 olduğunu gösterir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz, rakam ve sayı tabanlı problemlerde modüler aritmetiğin nasıl uygulandığını veya benzer sayı problemlerinin farklı çözümlerini detaylı anlatabilirim.

Siz hangi konuda destek isterdiniz?
@Utkan_Catmakas