Anıl’ın torbasında belirli sayıda, Betül’ün torbasında ise 40 adet top bulunmaktadır. Anıl torbasındaki topların yarısını Betül’ün torbasına koyduğunda Anıl’ın torbasında bulunan top sayısı Betül’ün torbasında bulunan top sayısının yüzde 20’sine eşit oluyor.
Buna göre başlangıçta Anıl’ın torbasında bulunan top sayısı kaçtır?
Anıl’ın torbasında başlangıçta 20 adet top bulunmaktadır. Bu, denklem çözümüyle elde edilir: Anıl 10 top aktarır, geriye 10 kalır; Betül’ün torbası 50 olur ve 10, 50’nin %20’sidir. Bu tür oran problemleri, KPSS Matematik’te sıkça test edilir ve değişken tanımlama ile çözülür.
KPSS Matematik sorusu, oran-orantı ve değişkenli denklem konusunu test eder. Anıl’ın top sayısı x (bilinmeyen), Betül’ün top sayısı 40 (bilinen) olarak tanımlanır. Aktarım sonrası:
Bu, lineer bir denklem olup, pratik senaryolarda (örneğin kaynak paylaşımı) kullanılır. Gerçek hayatta, envanter yönetimi veya bütçe dağılımı gibi durumlarda benzer mantık uygulanır.
Uzman İpucu: Problemi görselleştirin: İki torba, yarısını aktarma = simetri kırılması. Değişkeni x olarak tanımlamak, karmaşıklığı azaltır.
Koşula göre:
Burada 0.2 = \frac{1}{5} , yani yüzde 20.
Her iki tarafı 5 ile çarpın (ondalığı kaldırmak için):
x/2 terimini sola taşıyın:
Alternatif yol (ondalıkla):
[ 5 \frac{x}{2} = 40 + \frac{x}{2} ] (Aynı sonuç.)
Eğer sayısal doğrulama için:
Uyarı: x negatif veya kesirli olamaz; top sayısı tam sayı olmalı. Çözüm 20 tam sayı, geçerli.
KPSS’de bu hatalar puan kaybettirir; her zaman değişkeni yazıp yerine koyun. Gerçek dünya örneği: Bir şirketin yarısını başka birine devretmesi, kalan hissenin %20’ye eşit olması gibi.
Hızlı Kontrol: Denklemde x yerine 20 koyun; eşitlik sağlanıyor mu?
KPSS Matematik’te benzer oran problemleri yaygındır. İşte karşılaştırma:
| Özellik | Bu Problem | Benzer Varyasyon (Örnek) | Fark |
|---|---|---|---|
| Aktarım Oranı | Yarısı (%50) | Üçte biri (%33) | Daha basit hesaplama |
| Sonuç Oranı | %20 | %25 (çeyrek) | Denklem katsayısı değişir (0.25) |
| Bilinmeyen | Anıl’ın başı | Betül’ün sonu | Denklem sola/sağa kayar |
| Çözüm Zorluğu | Kolay (lineer) | Orta (ikinci derece eğer karekök varsa) | Bu problemde lineer kalır |
| KPSS Puan Etkisi | Temel (2-3 puan) | İleri (4-5 puan, birden fazla adım) | Hızlı çözülebilir |
Örnek Varyasyon Çözümü: Eğer %25 olsaydı: \frac{x}{2} = 0.25(40 + \frac{x}{2}) → x=16.67 (tam sayı değil, dikkat!).
Anahtar Nokta: Oran problemlerinde her zaman “önce-sonra” tablosu çizin; görselleştirme hataları %30 azaltır.
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Bilinmeyen | Anıl’ın başlangıç topu ( x ) |
| Verilen | Betül’ün topu: 40 |
| Aktarım | \frac{x}{2} top Betül’e |
| Denklem | \frac{x}{2} = 0.2 \left(40 + \frac{x}{2}\right) |
| Çözüm Adımları | 1. Katsayıyı kaldır (×5) 2. Terimleri topla 3. x=20 |
| Sonuçlar | Anıl kalan: 10 Betül yeni: 50 |
| Doğrulama | 10 = %20 × 50 (Eşit) |
| Konu | Oran-orantı, lineer denklem |
| KPSS İpucu | Değişken tanımla, yerine koy |
1. Denklem neden \frac{x}{2} = 0.2(40 + \frac{x}{2}) şeklinde?
Aktarım yarısı azalttığı için Anıl’ın kalanı \frac{x}{2} 'dir. Betül’ün artışı da aynı miktar olduğundan toplama eklenir. %20, oransal eşitliktir; bu denklem standart oran modelidir.
2. x=20 mantıklı mı? Top sayısı negatif çıkmaz mı?
Evet, mantıklı: 20>0, aktarım 10 tam sayı. Eğer x<0 çıksaydı (imkansız), denklem hatası aranırdı. KPSS’de her zaman pozitif tam sayı kontrolü yapın.
3. Bu problemde kesir kabul edilir mi?
Hayır, top sayısı tam olmalı. Çözüm 20 tamdır; eğer kesir çıksaydı (örneğin 16.67), problemde hata veya farklı yorum aranırdı.
4. Benzer bir problemde aktarım %30 olsaydı ne değişir?
Aktarım 0.3x , kalan 0.7x . Denklem: 0.7x = 0.2(40 + 0.3x) → x≈28.57 (yaklaşık, tam sayı uyarlayın). Oran değişimi denklemi karmaşıklaştırır.
5. KPSS’de bu konuyu nasıl çalışmalı?
Oran problemlerini tabloyla çözün: Önce-sonra sütunları. 20-30 pratik soru yapın; YKS/KPSS kitaplarında (örneğin Fem, Palme) bolca var. Zaman yönetimi için 1-2 dakikada çözün.
Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir varyasyon problemi çözmemi ister misiniz, yoksa KPSS oran-orantı için 5 soruluk bir quiz hazırlayayım mı?
Başlangıçta Anıl’ın torbasında 20 top vardır. Eğer Anıl, topların yarısını (10) Betül’e verirse, Anıl’da 10 top kalır; Betül’de 40 + 10 = 50 top olur ve 10, 50’nin %20’sine eşit olur — şart sağlanır.
Varsayalım x = Anıl’ın başlangıçtaki top sayısı.
Adım adım çözüm:
Kontrol: Anıl başlangıçta 20 top → yarısı 10 verildiğinde Anıl’da 10, Betül’de 50 olur. 10 = %20 of 50 doğru.
Alternatif kısa mantık: Transfer sonrası Anıl’daki sayı, Betül’ün sayısının beşte biri ise Betül’deki sayı Anıl’dakinin 5 katıdır. Transfer sonrası Anıl’da x/2 ise Betül’de 5·(x/2) olmalı; ama Betül’de bu aynı zamanda 40 + x/2 olduğuna göre:
5·(x/2) = 40 + x/2 → (5x)/2 − x/2 = 40 → (4x)/2 = 40 → 2x = 40 → x = 20.
| Aspect | Başlangıç | Transfer Sonrası |
|---|---|---|
| Anıl’daki top sayısı | x (aranıyor) | x/2 (ör. 20 → 10) |
| Betül’deki top sayısı | 40 | 40 + x/2 (ör. 40 + 10 = 50) |
| Verilen miktar | — | x/2 ( ör. 10) |
| İlgili yüzde ilişki | — | Anıl = %20 × Betül (sağlanıyor) |
| Element | Detay |
|---|---|
| Bilinmeyen | Anıl’ın başlangıçtaki top sayısı (x) |
| Verilen | Betül’de 40 top; Anıl yarısını veriyor; Anıl sonrası = Betül sonrası %20 |
| Denklem | x/2 = 0.2(40 + x/2) |
| Çözüm | x = 20 |
| Kontrol | Transfer sonrası: Anıl 10, Betül 50; 10 = %20 of 50 |
1. Denklem kurarken yapılan en sık hata nedir?
En yaygın hata, hangi miktarın yüzdesinin alındığını ters kurmaktır. Burada «Anıl’daki miktar = Betül’ün miktarının %20’si» şeklinde açıkça yazılmalıdır; aksi hâlde yanlış denklem oluşur.
2. Başka nasıl kısa çözüm olur?
Kısa yol: Transfer sonrası Betül, Anıl’ın 5 katıysa (çünkü Anıl %20’si), Denklem 5·(x/2) = 40 + x/2 şeklinde kurulup hızlıca çözülür — aynı sonuca ulaşılır.
3. Çözümü kontrol etmek için ne yapmalıyım?
Sonuca ulaştıktan sonra sayıların yerine konulması (substitusyon) en güvenli kontroldür: x=20 koyup Anıl ve Betül sayılarının verilen yüzde koşulunu sağlaması doğrulanır.
İsterseniz:
Benzer birkaç alıştırma ister misiniz? @K.K