Analitik Geometri: Çeyrek Çember ve Tanjant Doğru Problemi

YKS TYT
1

IMG_1547
IMG_1547720×500 23.9 KB

2

Analitik Geometri: Çeyrek Çember ve Tanjant Doğru Problemi

Önemli Noktalar

  • T(a,b) noktası, orijin merkezli çeyrek çember üzerinde yer alır ve yarıçapı 12 birimdir.
  • Doğru d, çemberde T noktasına teğet olup, x-eksenini A(-18, 0) noktasında keser.
  • Amaç: T noktasının apsisini (x koordinatını) bulmak.

Bu problemde verilen çeyrek çember, orijin merkezli bir çemberin pozitif y ve negatif x ekseni üzerindeki çeyreğini temsil eder. Teğet doğrunun eğimi, çemberin T noktasındaki teğet eğimine eşittir. A(-18,0) noktasından geçen ve T noktasından teğet geçen doğrunun eğimi ile çemberin radyal çizgisinin eğimi arasındaki ilişki kullanılarak T(a,b) noktası bulunur.

İçindekiler

  1. Verilerin Analizi ve Temel Formüller
  2. Teğet Doğru ve Çemberin Eğim İlişkisi
  3. T Noktasının Apsisini Hesaplama
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilerin Analizi ve Temel Formüller

Çemberin denklemi orijin merkezli ve yarıçapı 12 olduğundan:

x^2 + y^2 = 12^2 = 144

Burada, T(a, b) noktası çember üzerindedir, yani:

a^2 + b^2 = 144

2. Teğet Doğru ve Çemberin Eğim İlişkisi

Doğru d’nin x-eksenini A(-18,0) noktasında kestiği belirtiliyor. Bu nedenle doğrunun üzerindeki iki nokta:

  • A(-18, 0)
  • T(a, b) (teğet noktası)

Doğrunun eğimi (m) şu şekildedir:

m = \frac{b - 0}{a - (-18)} = \frac{b}{a + 18}

Çemberde bir noktadaki teğetin eğimi, o noktadaki yarıçap eğiminin negatif tersi, çünkü teğet yarıçaba diktir. Yarıçap doğrusu orijinden T noktasına çizildiği için yarıçap eğimi:

m_r = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}

Teğet eğimiyle yarıçap eğimi arasındaki ilişki:

m \cdot m_r = -1 \implies \frac{b}{a + 18} \cdot \frac{b}{a} = -1
\Rightarrow \frac{b^2}{a(a + 18)} = -1
\Rightarrow b^2 = -a(a + 18)

3. T Noktasının Apsisini Hesaplama

Çember denkleminden:

a^2 + b^2 = 144

Üstteki teğet koşulundan:

b^2 = -a(a + 18) = -a^2 - 18a

Bunları yerine koyarsak:

a^2 + (-a^2 - 18a) = 144
a^2 - a^2 - 18a = 144
-18a = 144
a = -8

Yani, T noktası apsisi a = -8’dir.

Özet Tablo

Element Detay
Çemberin denklemi x^2 + y^2 = 144
Teğet doğrunun geçtiği nokta A(-18, 0)
T noktası apsisi a = -8
T noktası ordinatı (b) b = \sqrt{144 - a^2} = \sqrt{144 - 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
Teğet eğimi m = \frac{b}{a+18} = \frac{4\sqrt{5}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

Sık Sorulan Sorular

1. Teğet doğruların eğimi nasıl bulunur?
Bir çemberde bir noktadaki teğetin eğimi, o noktada çemberin yarıçapının eğiminin negatif tersi olur. Bu nedenle eğim çarpımları -1’dir.

2. Çemberden teğetlenen bir doğru nasıl bulunur?
Doğrunun bir noktadan geçmesi ve çemberle yalnızca bir ortak noktası olması gerekir. Teğetlik koşulu için türev veya eğim şartları uygulanır.

3. Bu problemde nasıl bir strateji izlenmeli?
Çember denkleminden koordinatlar birbirine bağlanır, sonra teğet eğimi koşuluyla ikinci denkleme varılır. Bu iki denklemden bilinmeyenler çözülür.

Sonraki Adımlar

Benzer geometri problemlerinden pratik yapmak ister misiniz? Ya da dairenin farklı konumlarında teğet doğruların analizi üzerine detaylı örnekler görmek ister misiniz?

@Atesiya

3

Soru

Verilen çeyrek çembere O merkezli, yarıçapı 12 birim olan çemberde, bu çembere T(a,b) noktasında teğet olan d doğrusu x-ekseni ile A(-18,0) noktasında kesişiyor. Buna göre T noktasının apsisi (a) kaçtır?

  • Key Takeaways

    • O merkezli çemberin denklemi x^2 + y^2 = 144
    • Teğet doğrusu, merkezden geçen yarıçap vektörüne diktir
    • Teğet doğrusu x-ekseni ile A(-18,0) noktasında kesişmektedir

  • Direct Answer
    T noktasının apsisi $\displaystyle -8$’dir.

  • Table of Contents

    1. Çözüm Adımları
    2. Özet Tablosu
    3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Çemberin denklemi:
    x^2 + y^2 = 12^2 = 144
  2. T(a,b) noktasında yarıçap OT ile teğet d doğrusu diktir.
    • OT vektörünün eğimi: m_{\!OT} = \frac{b}{a}
    • Teğetin eğimi: m = -\frac{1}{m_{\!OT}} = -\frac{a}{b}
  3. d doğrusu A(-18,0) ve T(a,b) noktalarından geçtiğine göre eğimi:
    m = \frac{b - 0}{\,a - (-18)\,} = \frac{b}{a + 18}
  4. Eğimler eşitlenir:
    \frac{b}{a+18} = -\frac{a}{b} \quad\Longrightarrow\quad b^2 = -a(a+18)
  5. Ayrıca çember üzerinde:
    a^2 + b^2 = 144
    yerlerine koyunca:
    (144 - a^2) + a^2 + 18a = 0 \quad\Longrightarrow\quad 144 + 18a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -8

Özet Tablosu

Özellik Değer
Yarıçap 12
Çember denklemi x^2 + y^2 = 144
T noktası (a,b)
A noktası (-18,0)
Çözüm sonucu (a) -8

SSS

  1. Çemberin denklemi nasıl bulunur?

    • Merkez (0,0) ve yarıçap r ise denklemi x^2 + y^2 = r^2 şeklindedir.

  2. Noktadaki teğetin eğimi nasıl hesaplanır?

    • Teğet, çemberin merkezinden çizilen yarıçapa diktir. Dolayısıyla teğet eğimi, yarıçap eğiminin negatif bir tersi (-\tfrac{1}{m_{\!OT}}) alınarak bulunur.

  3. Eğim-formülünden yararlanmak neden önemlidir?

    • İki nokta bilindiğinde doğrunun eğimini doğrudan m = \tfrac{\Delta y}{\Delta x} formülüyle hesaplayıp, teğet-yarıçap ilişkisinden gelen diklik koşulunu kurmak problemleri sistematik çözer.

  4. Benzer bir problemde hangi adımlar tekrarlanır?

    • Çember denklemi yazma, eğimleri kurma, nokta-eğim formülü, ve şu eşitlikleri çözme (çember denklemi + diklik koşulu).

Çözümü anlayabildin mi? Sana benzer 3 tane pratik soru hazırlamamı ister misin? @Atesiya