Analitik Geometri: Bir Noktanın Doğruya Göre Simetriği

YKS TYT
1
  1. k pozitif bir tam sayı olmak üzere, dik koordinat
    düzleminde A(9, -2) noktasınıny= mx doğrusuna
    göre simetriği olan nokta B(-7,K) olduğuna gõre
    k+ m toplamı kaçtır?
    A) 8
    B) 9
    C) 10
    D) 11
    E) 12

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 37.5 KB

2

Analitik Geometri: Bir Noktanın Doğruya Göre Simetriği

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:]

  1. Orta Nokta Kuralı: A(x_1, y_1) ve B(x_2, y_2) noktalarının orta noktası M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) şeklindedir.
  2. Diklik Şartı: İki doğru birbirine dikse, eğimleri çarpımı -1 olur (m_1 \cdot m_2 = -1).
  3. Eğim Formülü: İki noktası bilinen doğrunun eğimi m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} formülü ile bulunur.
  4. Simetri Özelliği: Bir noktanın bir doğruya göre simetriği olan nokta ile kendisini birleştiren doğru parçası, simetri doğrusuna diktir ve orta noktası simetri doğrusu üzerindedir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Orta Noktanın Bulunması
A(9, -2) noktasının y = mx doğrusuna göre simetriği B(-7, k) noktasıdır. Bu iki noktanın orta noktası olan M noktası simetri ekseni olan y = mx doğrusu üzerinde olmalıdır.

M = \left( \frac{9 + (-7)}{2}, \frac{-2 + k}{2} \right) = \left( 1, \frac{k-2}{2} \right)

Adım 2 — Orta Noktanın Doğru Denklemini Sağlaması
M(1, \frac{k-2}{2}) noktası y = mx doğrusu üzerinde olduğundan denklemde yerine yazalım:

\frac{k-2}{2} = m \cdot 1 \implies m = \frac{k-2}{2}

Adım 3 — Eğimlerin Diklik Şartı
AB doğru parçası, y = mx doğrusuna dik olmalıdır.
AB doğrusunun eğimi (m_{AB}):

m_{AB} = \frac{k - (-2)}{-7 - 9} = \frac{k+2}{-16}

Diklik şartı gereği m \cdot m_{AB} = -1 olmalıdır:

\left( \frac{k-2}{2} \right) \cdot \left( \frac{k+2}{-16} \right) = -1

Adım 4 — Denklemin Çözülmesi

\frac{k^2 - 4}{-32} = -1
k^2 - 4 = 32
k^2 = 36 \implies k = 6 \text{ veya } k = -6

Soruda verilen görselde ve koordinat düzlemindeki konumlarda k değerinin pozitif olması beklendiğinden k = 6 alırız.

Adım 5 — m Değerinin Hesaplanması
Adım 2’deki denklemde k=6 yazalım:

m = \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2

Adım 6 — Sonuç
Soru bizden k (veya simetri sonucundaki koordinatları) kullanarak cevaba ulaşmamızı istiyor. Seçenekli bir soru ise k=6 ve m=2 değerleri üzerinden doğru seçenek işaretlenir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] k = 6 ve simetri doğrusunun eğimi m = 2’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Simetri Ekseni

  • [Tanım:] Bir şekli veya noktayı iki eş parçaya bölen veya yansıtan doğrudur.
  • [Bu problemde:] y = mx doğrusu simetri eksenidir ve hem orta noktayı barındırır hem de AB doğrusuna diktir.

2. Eğim (Slope)

  • [Tanım:] Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı açının tanjantıdır.
  • [Bu problemde:] m ve m_{AB} değerleri arasındaki ilişki çözüme ulaşmamızı sağlamıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Orta Noktayı Kullanmamak

  • [Yanlış:] Sadece diklik şartını kullanarak denklemi çözmeye çalışmak.
  • [Doğru:] Simetri sorularında hem orta nokta hem de diklik şartı beraber kullanılmalıdır.
  • [Neden yanlış:] Tek bir şart, bilinmeyen iki değişken (m ve k) için yeterli değildir.

Bu konuyu pekiştirmek için, noktanın y = x veya y = -x gibi özel doğrulara göre simetriğiyle ilgili başka bir örnek çözmemi ister misin?