Analitik düzlemde A noktası orijin olarak kabul edilirse B(a,k), C noktası orijin olarak kabul edilirse B(−5,−2) verilirse A ve C noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz

YKS TYT
1

1000026792
10000267923000×4000 1.04 MB

2

Resimli Soru 08-01-2026 21:53:16

Önemli Noktalar

  • Analitik düzlemde nokta koordinatları ve aralarındaki mesafe temel hesaplamalardır
  • İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
    $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
  • Noktaların eksenlere uzaklıkları ve çapraz mesafeler geometri sorularında sıkça karşımıza çıkar

Resimdeki sorular analitik düzlemde nokta koordinatlarından mesafe ve konum hesaplama üzerine odaklıdır. İki nokta arasındaki uzaklık, noktanın eksenlere uzaklığı gibi temel formüller kullanılarak çözüm yapılır. Özellikle verilen koordinatlar kullanılarak net mesafe ve sayı bulunur.

İçindekiler

  1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Koordinat
  2. Noktanın Eksenlere Uzaklığı ve Apsekt Hesapları
  3. Karşılaştırma Tablosu: Mesafe Formülleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Koordinat

İki nokta arasındaki mesafe formülü analitik düzlemde en temel araçtır:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
Burada (x1, y1) ve (x2, y2) noktalarının koordinatlarıdır.

Örneğin, B(3,4) ile C(-5,-2) noktaları arasındaki uzaklık:
$$\sqrt{(-5 - 3)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

:light_bulb: Pro Tip: Negatif koordinatlarda çıkarma işlemine dikkat edin; normal matematik kurallarını uygulayın.

Noktanın Eksenlere Uzaklığı ve Apsekt Hesapları

Bir noktanın x eksenine uzaklığı o noktanın y koordinatının mutlak değeridir. Benzer şekilde, y eksenine uzaklık ise x koordinatının mutlak değeridir. Örneğin, A(3, -5) noktasının:

  • x eksenine uzaklığı: |y| = 5
  • y eksenine uzaklığı: |x| = 3

Birden fazla noktanın koordinatlarına göre belirli bölgede kaç farklı durumda veya eksene göre benzer uzaklıkta kaç nokta olduğunun bulunması da sıkça sorulur.

Karşılaştırma Tablosu: Mesafe Formülleri

Özellik İki Nokta Arası Uzaklık Noktanın Eksenlere Uzaklığı Noktanın Doğruya Uzaklığı
Formül \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ y
Kullanım Alanı Noktalar arası doğrusal mesafe Noktanın eksenden olan dik uzaklığı Noktanın herhangi bir doğrudan dik uzaklığı
Zorluk Orta Kolay Orta

Özet Tablo

Element Detay
Temel formül İki nokta arası uzaklık formülü
Koordinat kullanımı Negatif ve pozitif değerlerde doğrudan uygulanır
Uzaklık ölçüleri Nokta-nokta, nokta-eksene, nokta-doğruya
Pratik ipucu İşaretlere dikkat, mutlak değer kullanımı önemli

Sık Sorulan Sorular

1. İki nokta arasındaki uzaklığı nasıl hızlı hesaplarım?
Kareler toplamının karekökü formülünü doğrudan uygulayın. Önce farkları hesaplayıp, karelerini alın, toplayın ve karekökünü alın.

2. Noktanın eksenlere uzaklığı nedir?
Bir noktanın x eksenine uzaklığı y koordinatının, y eksenine uzaklığıysa x koordinatının mutlak değeridir.

3. Negatif koordinatlar nasıl hesaplamaları etkiler?
Negatif koordinatlar çıkarma işlemlerinde işaret değişikliklerine neden olur, bu nedenle mutlak değer ve kare alma işlemleriyle net sonuca ulaşılır.

Sonraki Adımlar

Size özel olarak koordinatlarla mesafe hesaplama örnek sorularından bir mini test hazırlamamı ister misiniz?

@Ali_Karaman

3

Analitik düzlemde A noktası orijin olarak kabul edilirse B(a,k), C noktası orijin olarak kabul edilirse B(−5,−2) verilirse A ve C noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Önemli Noktalar

  • A noktasını orijin kabul ettiğimizde
    B = (a, k)
  • C noktasını orijin kabul ettiğimizde
    B = (−5, −2)
  • Uzaklık, orijin kaymaları farkı vektörünün büyüklüğüdür

A ve C noktaları arasındaki uzaklık

\sqrt{(a+5)^2 + (k+2)^2}

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları

Çözüm Adımları

  1. Koordinat dönüşümlerini vektör olarak yazalım:
    • \overrightarrow{AB} = (a,\,k)
    • \overrightarrow{CB} = (-5,\,-2)
  2. İki vektörün farkı, A’dan C’ye giden vektördür:
    \overrightarrow{AC} \;=\;\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB} \;=\;(-5,-2)-(a,k) \;=\;( -5 - a,\,-2 - k)
    Ancak işaret değiştirerek A→C vektörünü
    \overrightarrow{AC}=(a+5,\;k+2)
    olarak da düşünebiliriz.
  3. İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
    |AC|=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}
  4. Sonuç olarak
    |AC|=\sqrt{(a+5)^2+(k+2)^2}.

Özet Tablo

| A → C vektörü | Uzaklık |AC| |
|:---------------:|:------------------------------------:expressionless:
| (a+5,\;k+2) | \sqrt{(a+5)^2 + (k+2)^2} |

SSS

  1. S: A ve C noktaları arasındaki mesafe formülü nedir?
    C: \sqrt{(a+5)^2+(k+2)^2}.
  2. S: Fark vektörü nasıl bulunur?
    C: İki vektörün bileşenleri çıkarılarak elde edilir.
  3. S: Neden (a+5,k+2) vektörünü aldık?
    C: Orijin kaymalarının farkı, A’dan C’ye giden vektörü verir.

Bir örnek problem üzerinden mesafe formülünün uygulanışını görmek ister misiniz?

@Ali_Karaman