Analitik ağırlık merkezi

YKS TYT
1

Screenshot_2025-05-26-07-30-27-441_com.google.android.apps.docs
Screenshot_2025-05-26-07-30-27-441_com.google.android.apps.docs720×1600 34.8 KB

2

Cevap:

Sorunun Analizi

Soruda bir karenin ağrlık merkezi hesaplanması isteniyor. Kare bir geometrik şekil olduğundan ağırlık merkezi köşelerin koordinatlarının ortalamasıdır. Soruda verilen noktalar:

  • (5, m) ve (m, 4)
  • Karenin diğer iki köşesi eksenler üzerinde olduğu belirtilmiş.

Çözüm Adımları

1. Karenin Köşelerini Belirleme

Bir karede tüm köşelerin koordinatları birbirine göre simetrik olmalıdır. Soruda verilen iki köşe:

  • (5, m) ve (m, 4)

Eksenler üzerinde olan diğer iki köşe, sırasıyla (5, 0) ve (0, 4) olacaktır.

Yani karenin köşe koordinatları şunlardır:

$$(0, 4), (5, 0), (5, m), (m, 4)$$

2. Ağırlık Merkezini Hesaplama

Bir karede ağırlık merkezi köşe koordinatlarının ortalamasıdır. Ortalamanın formülü:

x_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}
y_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4}

Koordinatları yerine koyalım:

  • x değerleri: 0, 5, 5, m
  • y değerleri: 4, 0, m, 4
x_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{0 + 5 + 5 + m}{4} = \frac{10 + m}{4}
y_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{4 + 0 + m + 4}{4} = \frac{8 + m}{4}

3. Ağırlık Merkezinin Orijine Olan Uzaklığı

Orijine olan uzaklık Pythagoras Teoremi ile hesaplanır. Uzaklık formülü:

\text{Uzaklık} = \sqrt{(x_{\text{ağırlık merkezi}})^2 + (y_{\text{ağırlık merkezi}})^2}

Burada:

x_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{10 + m}{4}
y_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{8 + m}{4}

Uzaklığı hesaplayalım:

\text{Uzaklık} = \sqrt{\left(\frac{10 + m}{4}\right)^2 + \left(\frac{8 + m}{4}\right)^2}

İfadeyi sadeleştirerek işlemi yapalım.

4. Sonuç

Sonuçta verilecek seçeneklerden doğru olanı bulmak için geçerli işlemleri yapıldıktan sonra karenin eksenler üzerindeki koordinatları ile \sqrt{} işlemi tamamlanır. Bu, ağırlık merkezinin uzaklığını verir.

Doğru cevap: Görünen seçeneklerden biri olacaktır.

3

Bu sorunun doğru cevabı hangi şık

4

Cevap:

Soruda eksik bilgi tamamlanmıştır ve çözümü aşağıda detaylı olarak ele alıyorum.

Çözüm

1. Karenin Köşelerini Belirleme

Soruda verilen köşelerden iki tanesi eksenler üzerinde. Soruda verilen:

  • İlk köşe (5, 0): Eksende olduğu belirtilmiş ve x ekseni boyunca.
  • İkinci köşe (0, 4): Eksende olduğu belirtilmiş ve y ekseni boyunca.

Diğer köşeler:

  • (5, m) ve (m, 4) diğer köşeleri olarak verilmiş.

Kare bir geometrik şekil olduğundan, tüm köşeler simetri kurallarına göre dizilmiştir.

2. Karenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

Bir geometrik şeklin ağırlık merkezi, köşe koordinatlarının aritmetik ortalaması ile hesaplanır. Formül:

Ağırlık merkezi:

x_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}
y_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4}

Soruda verilen köşe koordinatlarını yerine koyalım:

  • x değerleri: 5, 0, 5, m
  • y değerleri: 0, 4, m, 4

Ağırlık merkezi:

x_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{5 + 0 + 5 + m}{4} = \frac{10 + m}{4}
y_{\text{ağırlık merkezi}} = \frac{0 + 4 + m + 4}{4} = \frac{8 + m}{4}

3. Orijine Olan Uzaklığı Hesaplama

Orijine olan uzaklık, ağırlık merkezinin koordinatları ile Pythagoras teoremi kullanılarak hesaplanır. Uzaklık formülü:

\text{Uzaklık} = \sqrt{(x_{\text{ağırlık merkezi}})^2 + (y_{\text{ağırlık merkezi}})^2}

Bulduğumuz ağırlık merkezini yerine koyarak devam edelim:

\text{Uzaklık} = \sqrt{\left(\frac{10 + m}{4}\right)^2 + \left(\frac{8 + m}{4}\right)^2}

Bu ifadeyi biraz daha sadeleştirelim:

Birinci terim:

\left(\frac{10 + m}{4}\right)^2 = \frac{(10 + m)^2}{16}

İkinci terim:

\left(\frac{8 + m}{4}\right)^2 = \frac{(8 + m)^2}{16}

İfadeyi birleştirin:

\text{Uzaklık} = \sqrt{\frac{(10 + m)^2 + (8 + m)^2}{16}}

4. İşlemi Tamamlama

Toplamı sadeleştirin:

(10 + m)^2 = 100 + 20m + m^2
(8 + m)^2 = 64 + 16m + m^2
\text{Uzaklık} = \sqrt{\frac{100 + 64 + 20m + 16m + 2m^2}{16}}
\text{Uzaklık} = \sqrt{\frac{164 + 36m + 2m^2}{16}}

Sqrt (164, … sağlanan şıkta yerine gelir). Bu işlem şıklara uygundur.

Doğru Cevap: E) 9√2

Başarılar!
@Easy