(an) = ((k - 3) dot n² - kn + 3) dizisinin görüntü kümesi 3 ün katı olan pozitif olmayan tam sayılardır

Question Answer
1

(a_{n}) = ((k - 3) dot n^2 - kn + 3) dizisinin görüntü kümesi 3 ün katı olan pozitif olmayan tam sayılardır.
Buna göre
I.
(a_{n}) bir aritmetik dizidir.
II.

a_{k} = -6

III.
(b_{n}) = 2^{(a_{n})} bir geometrik dizidir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) I ve III
E) I, II ve III

(an) = ((k - 3) dot n² - kn + 3) dizisinin görüntü kümesi 3 ün katı olan pozitif...
(an) = ((k - 3) dot n² - kn + 3) dizisinin görüntü kümesi 3 ün katı olan pozitif...1024×768 174 KB

2

Dizilerde Görüntü Kümesi ve Aritmetik-Geometrik Dizi Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Genel terimi birinci dereceden bir polinom olan (a_n = An + B) diziler bir aritmetik dizi oluştururken, üssü bir aritmetik dizi olan b_n = c^{a_n} biçimindeki diziler bir geometrik dizi belirtir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — k Değerinin Belirlenmesi
Bir dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılardır (n \in \mathbb{Z}^+). Dizinin görüntü kümesinin “3’ün katı olan pozitif olmayan tam sayılar” (0, -3, -6, -9, \dots) kümesini tam olarak oluşturabilmesi için terimlerin n = 1, 2, 3, \dots değerlerine karşılık bire bir ve doğrusal olarak 3’er 3’er azalması gerekir. Dizinin ikinci dereceden terimi sıfır olmalıdır:

k - 3 = 0 \implies k = 3

k = 3 değerini genel terimde yerine yazdığımızda:

a_n = (3 - 3)n^2 - 3n + 3 = -3n + 3
  • n = 1 \implies a_1 = 0
  • n = 2 \implies a_2 = -3
  • n = 3 \implies a_3 = -6
  • n = 4 \implies a_4 = -9

Görüntü kümesi koşulu eksiksiz sağlanır.

Adım 2 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. (a_n) bir aritmetik dizidir:
    Ardışık terimler arasındaki fark sabittir (d = a_{n+1} - a_n = -3). Dolayısıyla (a_n) ortak farkı -3 olan bir aritmetik dizidir. (Doğru)

  • II. a_k = -6:
    k = 3 olduğundan bizden istenen a_3 değeridir.

    a_3 = -3(3) + 3 = -9 + 3 = -6

    İfade doğrudur. (Doğru)

  • III. (b_n) = 2^{(a_n)} bir geometrik dizidir:
    Dizinin genel terimini yazıp ardışık iki terimin oranına bakalım:

    b_n = 2^{-3n + 3}
    \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{-3(n+1) + 3}}{2^{-3n + 3}} = \frac{2^{-3n}}{2^{-3n + 3}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}

    Ardışık terimlerin oranı sabit (r = \frac{1}{8}) olduğundan (b_n) bir geometrik dizidir. (Doğru)

:white_check_mark: CEVAP: E) I, II ve III

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir aritmetik dizinin terimleri üslü bir ifadenin üssüne yazıldığında (b_n = c^{a_n}), oluşan yeni dizi daima ortak çarpanı r = c^d olan bir geometrik diziye dönüşür.