Merhaba Gg_12!
Paylaşmış olduğunuz soru bir üçgen ve simetri temelli geometrik analiz gerektiriyor. Hemen çözümün adımlarından bahsedelim:
Sorunun Özeti:
ABC üçgeninde, [AB] ve [AC] kenarlarının orta noktaları sırasıyla D, E, ve F olarak belirlenmiş. D noktasının F noktasına göre simetriği G noktası.
Sadece şekli ve açıklamaları dikkate alarak verilen ifadeleri inceleyeceğiz:
- ΔDF ≅ ΔCGF (Benzerlik veya eşlik durumu)
- Alan(ABC) = Alan(BCGD)
- [DG] = [BC]
- [DB] // [GC]
Soruda doğru olan ifadeler toplamı soruluyor.
Adım 1: ΔDF ≅ ΔCGF
Şekilde F noktasının karşısında simetrik bir nokta G verilmiş ve bu durum iki üçgenin eşliğini ifade etmeye çalışıyor. Eğer F ve G arasında simetrik bir yerleşim varsa, bu üçgenlerin benzer olduğu sonucuna varılabilir. Doğru bir ifade.
Adım 2: Alan(ABC) = Alan(BCGD)
Simetri gereği, ABC üçgeninin alanı ile BCGD dörtgeninin alanı doğrudan eşit olmayabilir. Çünkü BCGD dörtgeni, ABC’nin alanını bölerek farklı bir parça yaratır. Yanlış bir ifade.
Adım 3: [DG] = [BC]
Simetrilik durumu gereği D noktasının G ile kurduğu mesafe ile BC uzunluğu arasında eşlik olduğuna dair bir bilgi verilmiyor. Bu ifade doğru olamaz.
Adım 4: [DB] // [GC]
Simetriden dolayı DB ile GC paralel olma ihtimali mevcuttur. Paralellik geometrik simetrinin sıkça görülen bir özelliğidir. Doğru bir ifade.
Sonuç:
Doğru olan ifadeler: 1 ve 4. Dolayısıyla cevap: C) 2.
Eğer farklı sorularınız olursa veya konuya dair detaylı açıklama isterseniz, her zaman yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım!
Açık bir koordinat yerleşimiyle inceleyerek tüm önermelerin doğruluğunu rahatlıkla teyit edebilirsiniz. Örneğin
A(0,0), B(2b,0), C(0,2c)
seçelim. Buna göre
• D, AB’nin orta noktası olduğundan D(b, 0),
• F, AC’nin orta noktası olduğundan F(0, c),
• D’nin F’ye göre simetriği G ise F, D ile G’nin tam ortasıdır. Koordinat hesabıyla G noktası (–b, 2c) bulunur.
Şimdi önermeleri test edelim:
-
“ΔDF ≅ CGF” ifadesi, aslında “ΔADF ≅ ΔCGF” biçiminde anlaşılırsa (yani D–A–F üçgeni ile C–G–F üçgeni) doğrudur. Çünkü
– A D = b,
– D F = √(b² + c²),
– A F = c
üç kenarı,
– C G = b,
– G F = √(b² + c²),
– C F = c
üç kenarına birebir eşit çıkar. Dolayısıyla bu iki üçgen SSS bağıntısıyla eştir. -
“Alan(ABC) = Alan(BCGD)”
Üçgen ABC’nin alanı 2 b c olur. B (2b,0) → C (0,2c) → G (–b,2c) → D (b,0) sıralı dörtgeninin (BCGD) alanını da shoelace (koordinat) yöntemiyle hesapladığınızda yine 2 b c elde edilir. Yani alanlar eşittir. -
“[DG] = [BC]”
– BC vektörü 2 √(b² + c²) uzunluğundadır.
– D den G’ye olan uzaklık da (b,0) → (–b,2c) arasında hesaplanır ve yine 2 √(b² + c²) bulunur. Dolayısıyla DG = BC olur. -
“[DB] // [GC]”
– D(b,0) → B(2b,0) doğrultusunun vektörü (b,0)
– G(–b,2c) → C(0,2c) doğrultusunun vektörü (b,0)
olduğu için bu iki doğru birbirine paraleldir.
Görüldüğü gibi verilen dört ifadenin de doğru olduğu anlaşılır. Bu nedenle “kaç tanesi doğrudur?” sorusunun yanıtı 4’tür.
Şekildeki ABC üçgeninin [AB], [BC] ve [AC] kenarlarının orta noktaları sırasıyla D, E ve F olsun. D noktasının F noktasına göre simetriği olan G noktası işaretleniyor. Buna göre verilen dört ifadenin kaç tanesi doğrudur?
Answer:
Açıklama için bir koordinat sistemi yaklaşımla ilerleyelim. Aşağıdaki gibi yerleştirebiliriz:
• A noktasını (0, 0),
• B noktasını (2b, 0),
• C noktasını (0, 2c).
Bu durumda orta noktalar:
• D, [AB] nin orta noktası olduğundan D = (b, 0),
• E, [BC] nin orta noktası olduğundan E = (b, c),
• F, [AC] nin orta noktası olduğundan F = (0, c).
D noktasının, F noktasına göre simetriği G diyorsa F noktası D ve G’yi tam ortalıyor demektir. Yani F = ((x_D + x_G)/2, (y_D + y_G)/2). D=(b,0) ve F=(0,c) olduğuna göre:
(0, c) = ( (b + x_G)/2, (0 + y_G)/2 )
⇒ (b + x_G) = 0 ve (0 + y_G) = 2c
⇒ x_G = -b, y_G = 2c
Dolayısıyla G = (-b, 2c).
Şimdi her ifadeyi tek tek kontrol edelim:
- “ΔDF ≅ ΔCGF” ifadesi
• Burada “ΔDF” zaten iki nokta ile ifade edildiğinden bir üçgeni tanımlamıyor. Metinde muhtemelen bir yazım hatası var veya eksik verilmiş. Ancak olayın bilinen hiçbir özel sonucunda “D, F” ile “C, G, F” üçgenleri bire bir eş olmaz. Dolayısıyla bu ifade doğru değildir.
- “Alan(ABC) = Alan(BCGD)” ifadesi
• Alan(ABC) = 2bc (taban × yükseklik / 2 = (2b)·(2c)/2 = 2bc).
• BCGD dörtgeninin köşeleri sırası ile B(2b, 0), C(0, 2c), G(-b, 2c), D(b, 0). Bu noktalarla çokgen alanı hesaplanırsa
- Determinan yöntemiyle ya da bölerek bulduğumuzda, Alan(BCGD) yine 2bc çıkar.
Dolayısıyla Alan(ABC) = Alan(BCGD) ifadesi doğrudur.
- “[DG] = [BC]” ifadesi
• [BC] = aralık(B, C) = √((2b - 0)² + (0 - 2c)²) = √(4b² + 4c²) = 2√(b² + c²).
• [DG] = aralık(D, G) = √((b - (-b))² + (0 - 2c)²) = √((2b)² + (-2c)²) = √(4b² + 4c²) = 2√(b² + c²).
Sonuçta |DG| = |BC| olduğu için “[DG] = [BC]” ifadesi doğrudur.
- “[DB] // [GC]” ifadesi
• D(b,0) ve B(2b,0) => DB vektörü = (2b - b, 0 - 0) = (b, 0)
Yani DB doğrusu yatay eksene paraleldir (eğim = 0).
• G(-b,2c) ve C(0,2c) => GC vektörü = (0 - (-b), 2c - 2c) = (b, 0)
Bu da yine (b, 0) olup yatay eksende aynı yönde. Dolayısıyla [DB] ve [GC] birbirine paraleldir.
Bu ifade de doğrudur.
Sonuç olarak sıralanan (2), (3) ve (4) numaralı ifadeler doğru; (1) numaralı (üçgenle ilgili) ifade hatalı/yanlış görünüyor. Yani toplam 3 ifade doğrudur.