Altı Basamaklı ABABAB Sayısının Asal Çarpanları ve AB Sayısı Analizi

Maths Question
1

İKİZ SRU
Alti basamaklı ABABAB doğal sayisInin farkli asal
çarpanlarının toplamı 62’dir.
Buna göre iki basamaklı AB doğal sayısı
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 16
B) 42
C) 52
D) 66
E) 74

2

Altı Basamaklı ABABAB Sayısının Asal Çarpanları ve AB Sayısı Analizi

Altı basamaklı ABABAB sayısının yapısını çözümleyerek, asal çarpanlarının toplamı üzerinden hangi AB sayısının bu kurala uymadığını belirleyelim.

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / BİLGİ:]
Bir ABABAB sayısı, basamak çözümlemesi yöntemiyle şu şekilde parçalanır:

ABABAB = AB \times 10101

Burada 10101 sayısının asal çarpanlarına ayrılması, sorunun çözüm anahtarıdır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — 10101 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma
10101 sayısını incelediğimizde:

  • Rakamları toplamı 1+0+1+0+1 = 3 olduğu için 3’e tam bölünür.
  • 10101 = 3 \times 3367
  • 3367 sayısı 7’ye bölünür: 3367 = 7 \times 481
  • 481 sayısı 13 ve 37’nin çarpımıdır: 481 = 13 \times 37
    Bu durumda:
10101 = 3 \times 7 \times 13 \times 37

Adım 2 — Mevcut Asal Çarpanların Toplamını Bulma
10101 çarpanından gelen sabit asal çarpanlar 3, 7, 13 ve 37’dir. Bunların toplamı:

3 + 7 + 13 + 37 = 60

Soruda tüm asal çarpanların toplamının 62 olduğu verilmiştir.

Adım 3 — Eksik Olan Asal Çarpanı Belirleme
Toplamın 62 olması için AB sayısından gelecek olan yeni/farklı asal çarpanların toplamı:

62 - 60 = 2

olmalıdır. Bu da AB sayısının içinde farklı asal çarpan olarak sadece 2 bulunması gerektiği anlamına gelir. (Not: AB sayısı 3, 7, 13, 37 çarpanlarını da barındırabilir çünkü bunlar “farklı” toplamı değiştirmez, ancak bunların dışında sadece 2 asalı bulunabilir).

Adım 4 — Seçeneklerin Analizi
AB sayısının çarpanlarını kontrol edelim:

  • A) 16: 16 = 2^4. Sadece 2 asal çarpanı gelir. Toplam: 60 + 2 = 62. (Olabilir)
  • B) 42: 42 = 2 \times 3 \times 7. Yeni gelen asal sadece 2’dir (3 ve 7 zaten vardı). Toplam: 60 + 2 = 62. (Olabilir)
  • C) 52: 52 = 2^2 \times 13. Yeni gelen asal sadece 2’dir (13 zaten vardı). Toplam: 60 + 2 = 62. (Olabilir)
  • D) 66: 66 = 2 \times 3 \times 11. Burada 11 yeni bir asal çarpandır. Toplam: 60 + 2 + 11 = 73 olur. (Olamaz)
  • E) 74: 74 = 2 \times 37. Yeni gelen asal sadece 2’dir (37 zaten vardı). Toplam: 60 + 2 = 62. (Olabilir)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] D) 66
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Basamak Çözümleme

  • [Tanım:] Sayıları basamak değerlerine göre çarpanlarına ayırma işlemidir.
  • [Bu problemde:] 10000AB + 100AB + AB mantığıyla sayıyı 10101 \times AB formatına getirdik.

2. Asal Çarpanlar Toplamı

  • [Tanım:] Bir sayıyı tam bölen asal sayıların her birinin birer kez toplanmasıdır.
  • [Bu problemde:] Hem sabit çarpanları (10101) hem de değişken çarpanı (AB) birlikte değerlendirdik.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Çarpanları Tekrar Saymak

  • [Yanlış:] AB sayısı 3 içeriyorsa, toplamda 3’ü iki kez toplamak.
  • [Doğru:] “Farklı asal çarpanlar” dendiği için her asal sayı, kaç kez bulunursa bulunsun toplama sadece bir kez dahil edilir.
  • [Neden yanlış:] Sorudaki “farklı” ibaresi küme mantığıyla çalışmamızı gerektirir.

Bu çözümde AB sayısının neden 66 olamayacağını ayrıntılı olarak inceledik. Bu tür çarpanlara ayırma sorularında başka bir sayının (örneğin ABCABC) asal çarpanlarını da incelememi ister misin?