Alp, K noktasından kırmızı doğruya dik siyah yoldan doğrusal 10 metre yürüdüğünde mavi ve kırmızı yollara eşit uzaklıktaki L noktasına, 30 metre daha yürüdüğünde ise kırmızı ve mavi yollara eşit uzaklıktaki N noktasına varıyor.
Buna göre, |ML| + |MP| uzunluğu toplamı kaç metredir?
Açıortay Özellikleri ve Öklid Bağıntısı ile Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kesişen iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktalar, bu doğruların oluşturduğu açıların iç ve dış açıortayları üzerindedir. Birbirine komşu ve bütünler olan iç ve dış açıortaylar birbirine diktir (90^\circ). Dik üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntısı (h^2 = p \cdot k) ve açıortay oran bağıntısı uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Açıortayların ve Dikliğin Tespiti
Kırmızı doğru (PM) ile mavi doğru (PK), P noktasında kesişmektedir. Her iki doğruya da eşit uzaklıkta bulunan L ve N noktaları, P köşesine ait iç ve dış açıortaylar üzerindedir.
- [PL], \widehat{MPK} açısının iç açıortayıdır.
- [PN], \widehat{MPK} açısının dış açıortayıdır.
İç ve dış açıortaylar birbirine dik olduğundan:
m(\widehat{LPN}) = 90^\circ
Adım 2 — Dış ve İç Açıortay Teoremi ile |ML| Değerinin Bulunması
Verilenlere göre |KL| = 10\text{ m} ve |LN| = 30\text{ m}'dir.
|ML| = x dersek, M noktası L ile N arasında olduğundan:
|MN| = 30 - x
|NK| = |NL| + |LK| = 30 + 10 = 40\text{ m}
PL iç açıortay ve PN dış açıortay olduğundan harmonik oran (açıortay teoremleri) geçerlidir:
\frac{|ML|}{|LK|} = \frac{|MN|}{|NK|} \implies \frac{x}{10} = \frac{30 - x}{40}
İçler-dışlar çarpımı yapıldığında:
4x = 30 - x \implies 5x = 30 \implies x = |ML| = 6\text{ m}
Buradan |MN| = 30 - 6 = 24\text{ m} bulunur.
Adım 3 — Öklid Bağıntısı ile |MP| Uzunluğunun Hesaplanması
m(\widehat{LPN}) = 90^\circ olan dik üçgende, [PM] hipotenüse inen dikmedir (PM \perp LN). Öklid yükseklik bağıntısı uygulanırsa:
|PM|^2 = |ML| \cdot |MN|
|PM|^2 = 6 \cdot 24 = 144 \implies |MP| = \sqrt{144} = 12\text{ m}
Adım 4 — İstenen Toplamın Hesaplanması
|ML| + |MP| = 6 + 12 = 18\text{ m}
CEVAP: 18 metre (|ML| + |MP| = 18)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir açının iç ve dış açıortaylarının arasındaki açının her zaman 90^\circ olduğunu hatırlamak, diklik verildiğinde doğrudan Öklid bağıntısını (h^2 = p \cdot k) görmenizi sağlayarak soruyu çok hızlı çözdürür.