Soru: Bir bileklik zincirine 1, 2 ve 3 adet eş üç boncuk takılmasıyla oluşan şekillerin ağırlıkları verildiğine göre bir boncuğun ağırlığı kaç gramdır?
Önemli Noktalar
- Zincirin ağırlığı W, bir boncuğun ağırlığı x olsun.
- Şekil 1, Şekil 2 ve Şekil 3 ağırlıkları sırasıyla W+x, W+2x, W+3x ile ifade edilir.
- Verilen oranlara göre
- W+2x = \frac{13}{8}(W + x)
- W+2x = \frac{13}{18}(W + 3x)
- W+3x = 54\text{ g}
Bir boncuğun ağırlığı 15 gramdır.
İçindekiler
1. Çözüm Adımları
-
Değişkenleri tanımlayalım:
W = \text{zincirin ağırlığı},\quad x = \text{bir boncuğun ağırlığı}. -
Şekil ağırlıklarını yazalım:
- Şekil 1: W + x
- Şekil 2: W + 2x
- Şekil 3: W + 3x = 54
-
Oranlardan iki denklem elde ederiz:
\begin{aligned} W + 2x &= \frac{13}{8}(W + x),\\ W + 2x &= \frac{13}{18}(W + 3x). \end{aligned} -
Üçüncü denklemden W = 54 - 3x bulunur. Bunu ilk denkleme yerine koyup çözersek:
\begin{aligned} &(54 - 3x) + 2x = \frac{13}{8}\bigl((54 - 3x) + x\bigr)\\ &54 - x = \frac{13}{8}(54 - 2x)\;\Rightarrow\; 432 - 8x = 702 - 26x\\ &18x = 270\;\Rightarrow\; x = 15. \end{aligned} -
Bulduğumuz x=15 değerini diğer denklemlere koyarak tutarlılığı kontrol edebiliriz.
2. Karşılaştırma Tablosu
| Şekil | Boncuk Sayısı | Ağırlık İfadesi | Hesaplanan Ağırlık |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | W + x | 9 + 15 = 24 g |
| 2 | 2 | W + 2x | 9 + 30 = 39 g |
| 3 | 3 | W + 3x = 54 | 54 g |
Not: Zincirin ağırlığı W = 54 - 3\cdot15 = 9 g olarak bulunmuştur.
3. Özet Tablosu
| Değişken | Anlamı | Değer |
|---|---|---|
| x | Bir boncuğun ağırlığı | 15 g |
| W | Zincirin ağırlığı | 9 g |
| Şekil 1 | Zincir + 1 boncuk | 24 g |
| Şekil 2 | Zincir + 2 boncuk | 39 g |
| Şekil 3 | Zincir + 3 boncuk | 54 g |
4. SSS
S1: Niçin iki farklı orandan aynı denklemi kurduk?
C1: Şekil 2’nin ağırlığı, hem Şekil 1 hem de Şekil 3 ağırlıklarıyla oranlandığı için iki ayrı denklem elde edilir ve bunlar tutarlılığı sağlar.
S2: W nasıl bulduk?
C2: Şekil 3’ün ağırlığı doğrudan 54 g verildi; W + 3x = 54 denkleminden W ifadesi elde edildi.
S3: Denklemler uyumlu olmazsa ne olur?
C3: Tutarsızlık olursa verilen oran veya veri hatalıdır; soruda tutarlı olduğu için çözümler örtüştü.
Sıradaki Adım
Farklı başlangıç verileriyle (örneğin Şekil 3 = 60 g veya oranlar farklı) benzer bir denklem sistemi kurarak pratik yapmak ister misiniz? @anonim110
Bir Boncuğun Ağırlığı Kaç Gramdır?
Önemli Noktalar
- Şekil 1’de zincirin kendi ağırlığı + 1 boncuk ağırlığı vardır.
- Şekil 2, Şekil 1’in toplam ağırlığının 13/8 katıdır, yani 1 boncuk daha eklenmiştir.
- Şekil 3, Şekil 2’nin 13/18 katı ve toplam ağırlığı 54 gramdır.
- Hedef, bir boncuğun ağırlığını bulmaktır.
İçindekiler
Problemin Matematiksel Modeli
Şekilleri ve ağırlıkları ifade etmek için:
- Zincirin kendi ağırlığı: Z (bilinmeyen)
- Bir boncuğun ağırlığı: B (bulunacak)
Şekil 1: Zincir + 1 boncuk
Şekil 2: Zincir + 2 boncuk
Şekil 3: Zincir + 3 boncuk
Verilen oranlar:
Adım Adım Çözüm
- İlk denklemden W_2 için:
Dağıtalım:
Her iki tarafı sadeleştir:
Çarpalım her iki tarafı 8 ile:
- İkinci oran denkleminden:
Dağıtalım:
Her iki tarafı sadeleştir:
Çarpalım her iki tarafı 18 ile:
Negatif değer gelmesi uyumsuz; aslında zincir ve boncuk ağırlıkları pozitif olduğundan bu denklemi yeniden yazarken dikkatli olalım.
Hatanın sebebi işaretlerde. Tekrar bakalım:
Sağ tarafı açalım (daha net):
Soldan çıkartalım:
Ortak paydada yazalım:
Tam olarak:
Ancak hem Z hem B pozitif, bu ifade nasıl sıfıra eşit olabiliyor?
Burada bir hata var, aslında bu doğru formül değil. Çünkü Şekil 3 ağırlığı Şekil 2’nin oranıyla değil, Şekil 1’e göredir.
Soruyu bir daha dikkatle okuyalım:
Şekil 2’nin toplam ağırlığı; Şekil 1’in toplam ağırlığının \frac{13}{8} 'i,
Şekil 3’ün toplam ağırlığı ise \frac{13}{18} 'i ve Şekil 3’ün toplam ağırlığı 54 gramdır.
Burada ikinci oranda muhtemelen baskı hatası var. Sorunun mantığı:
- Şekil 2’nin ağırlığı, Şekil 1’in ağırlığının \frac{13}{8} katı ise,
- Şekil 3’ün ağırlığı, Şekil 2’nin değil, Şekil 1’in \frac{13}{18} katı olmalıdır. (Daha mantıklı.)
Eğer öyleyse:
Ve W_3 = 54.
Böylece iki oran Şekil 2 ve Şekil 3 ağırlıkları Şekil 1’e göre ifade edilir:
Doğrulamak için:
Şekil 1 ağırlığı yaklaşık 74.77 gram.
Şekil 2 ağırlığı:
Ama toplam ağırlıklar artması beklenir, burada Şekil 3’nin ağırlığı 54 gram ve Şekil 2’den küçük çıktığı için bu da uyumsuz.
Alternatif çözüm için orijinal soruda “Şekil 3’ün toplam ağırlığı 54 gramdır” ve oranlar:
- Şekil 2’nin ağırlığı, Şekil 1’in 13/8 katı
- Şekil 3’ün ağırlığı, Şekil 2’nin 13/18 katı
Yani doğru oranlar:
ve W_3 = 54.
O halde W_2’yi bulalım:
Aynı şekilde, W_2:
Öyleyse:
Ama burada W_3 toplam ağırlık olarak 54 gram verilmiş, ama bulunandan az çıkıyor, diğerleri ise daha büyük. Bu tutarsız.
Soruda yanlışlık olabilir, ya ağırlıklar yanlış yazılmış ya da oranlar.
Alternatif mantıklı çözüm için W_3 ağırlığının en büyük olması gerekir; W_3 neden 54 gram?
Soruyu tekrar adım adım çözelim.
Sistem Denklemleri:
- Z + 2B = \frac{13}{8}(Z + B)
Hesaplayalım:
- Z + 3B = \frac{13}{18} (Z + 2B)
Ama burada pozitif Z ve B ile toplam sıfır olamaz. Bu çelişki nedeniyle pratik çözümü W_3 = 54 ile kullanacağız.
B =\frac{5}{3}Z olduğuna göre:
O halde
Sonuç: Bir boncuğun ağırlığı 15 gramdır.
Özet Tablo
| Değişken | Değer |
|---|---|
| Zincir ağırlığı Z | 9 gram |
| Boncuk ağırlığı B | 15 gram (cevap) |
| W_1 = Z + B | 24 gram |
| W_2 = Z + 2B | 39 gram |
| W_3 = Z + 3B | 54 gram (verilen) |
Sık Sorulan Sorular
1. Bu tür sorularda oran nasıl kullanılır?
Oranlar, iki ağırlık arasındaki ilişkiyi göstermek için kullanılan orantılı katsayılardır. Önce denklemler kurulup bilinmeyenler oranlarla ifade edilir.
2. Zincirin ağırlığını neden hesapladık?
Zincirin ağırlığını bilmiyorsak, toplam ağırlıkları sadece boncuklarla açıklamak mümkün olmaz; denge kurarak sorunu çözmemiz gerekir.
3. Eğer boncuk sayısı artarsa ne olur?
Her boncuk eklendiğinde toplam ağırlık, zincir ağırlığı sabit kalırken, boncuk ağırlığı kadar artar.
Sonraki Adımlar
Benzer oran problemi soruları çözmek ister misiniz? Yoksa boncukların farklı ağırlıklarda olduğu karmaşık sistem problemleri üzerine gidelim mi?