Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri ve Yüksek Mertebeden Türevler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Trigonometrik fonksiyonların temel türev kuralları (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (\tan x)' = \sec^2 x, (\cot x)' = -\csc^2 x, (\sec x)' = \sec x \tan x ve (\csc x)' = -\csc x \cot x bağıntılarına dayanır. Çarpım kuralı (uv)' = u'v + uv' ve bölüm kuralı \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Alıştırma 19–22: \frac{ds}{dt} Türevleri
19. s = \tan t - t
\frac{ds}{dt} = \sec^2 t - 1 = \tan^2 t
20. s = t^2 - \sec t + 1
\frac{ds}{dt} = 2t - \sec t \tan t
21. s = \frac{1 + \csc t}{1 - \csc t}
Bölüm kuralı uygulanır:
\frac{ds}{dt} = \frac{(-\csc t \cot t)(1 - \csc t) - (1 + \csc t)(\csc t \cot t)}{(1 - \csc t)^2} = \frac{-2\csc t \cot t}{(1 - \csc t)^2}
22. s = \frac{\sin t}{1 - \cos t}
Bölüm kuralı uygulanır ve \sin^2 t + \cos^2 t = 1 özdeşliği kullanılır:
\frac{ds}{dt} = \frac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t(\sin t)}{(1 - \cos t)^2} = \frac{\cos t - (\cos^2 t + \sin^2 t)}{(1 - \cos t)^2} = \frac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} = -\frac{1}{1 - \cos t}
Alıştırma 23–26: \frac{dr}{d\theta} Türevleri
23. r = 4 - \theta^2 \sin \theta
Çarpım kuralı uygulanır:
\frac{dr}{d\theta} = 0 - \left(2\theta \sin \theta + \theta^2 \cos \theta\right) = -2\theta \sin \theta - \theta^2 \cos \theta
24. r = \theta \sin \theta + \cos \theta
\frac{dr}{d\theta} = (1 \cdot \sin \theta + \theta \cos \theta) - \sin \theta = \theta \cos \theta
25. r = \sec \theta \csc \theta
\frac{dr}{d\theta} = (\sec \theta \tan \theta)\csc \theta + \sec \theta(-\csc \theta \cot \theta) = \sec \theta \csc \theta (\tan \theta - \cot \theta)
26. r = (1 + \sec \theta)\sin \theta = \sin \theta + \tan \theta
İfade dağıtılarak doğrudan türev alınır:
\frac{dr}{d\theta} = \cos \theta + \sec^2 \theta
Alıştırma 27–32: \frac{dp}{dq} Türevleri
27. p = 5 + \frac{1}{\cot q} = 5 + \tan q
\frac{dp}{dq} = \sec^2 q
28. p = (1 + \csc q)\cos q = \cos q + \cot q
\frac{dp}{dq} = -\sin q - \csc^2 q
29. p = \frac{\sin q + \cos q}{\cos q} = \tan q + 1
\frac{dp}{dq} = \sec^2 q
30. p = \frac{\tan q}{1 + \tan q}
Bölüm kuralı uygulanır:
\frac{dp}{dq} = \frac{\sec^2 q (1 + \tan q) - \tan q (\sec^2 q)}{(1 + \tan q)^2} = \frac{\sec^2 q}{(1 + \tan q)^2}
31. p = \frac{q \sin q}{q^2 - 1}
Payın türevi: (q \sin q)' = \sin q + q \cos q
\frac{dp}{dq} = \frac{(\sin q + q \cos q)(q^2 - 1) - (q \sin q)(2q)}{(q^2 - 1)^2} = \frac{(q^3 - q)\cos q - (q^2 + 1)\sin q}{(q^2 - 1)^2}
32. p = \frac{3q + \tan q}{q \sec q} = 3\cos q + \frac{\sin q}{q}
Terim terim türev alınır:
\frac{dp}{dq} = -3\sin q + \frac{q \cos q - \sin q}{q^2}
Alıştırma 33: İkinci Mertebeden Türev (y'')
-
a. y = \csc x
y' = -\csc x \cot x
y'' = -(-\csc x \cot x \cdot \cot x + \csc x \cdot (-\csc^2 x)) = \csc x \cot^2 x + \csc^3 x = \csc x (\cot^2 x + \csc^2 x)
-
b. y = \sec x
y' = \sec x \tan x
y'' = (\sec x \tan x)\tan x + \sec x (\sec^2 x) = \sec x \tan^2 x + \sec^3 x = \sec x (\tan^2 x + \sec^2 x)
Alıştırma 34: Dördüncü Mertebeden Türev (y^{(4)})
Trigonometrik sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının türevleri 4 adımda bir periyodik olarak kendisine döner (f^{(4)}(x) = f(x)):
CEVAP:
- 19: \tan^2 t
- 20: 2t - \sec t \tan t
- 21: \frac{-2\csc t \cot t}{(1 - \csc t)^2}
- 22: -\frac{1}{1 - \cos t}
- 23: -2\theta \sin \theta - \theta^2 \cos \theta
- 24: \theta \cos \theta
- 25: \sec \theta \csc \theta (\tan \theta - \cot \theta)
- 26: \cos \theta + \sec^2 \theta
- 27: \sec^2 q
- 28: -\sin q - \csc^2 q
- 29: \sec^2 q
- 30: \frac{\sec^2 q}{(1 + \tan q)^2}
- 31: \frac{(q^3 - q)\cos q - (q^2 + 1)\sin q}{(q^2 - 1)^2}
- 32: -3\sin q + \frac{q \cos q - \sin q}{q^2}
- 33.a: \csc x (\cot^2 x + \csc^2 x) | 33.b: \sec x (\tan^2 x + \sec^2 x)
- 34.a: -2\sin x | 34.b: 9\cos x
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 26, 27 ve 29 numaralı sorularda olduğu gibi, türev almadan önce trigonometrik ifadeleri cebirsel olarak sadeleştirmek (örneğin \frac{1}{\cot q} = \tan q veya ifadeyi terim terim bölmek) işlem yükünü ve hata payını ciddi oranda azaltır. Ayrıca \sin x ve \cos x’in 4. mertebeden türevi daima fonksiyonun ilk hâline eşittir.
