Zincir Kuralı ve Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bu alıştırmalarda temel türev alma kuralları olan Zincir Kuralı \left(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\right), Çarpım Kuralı \left((uv)' = u'v + uv'\right) ve Bölüm Kuralı \left(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\right) ile trigonometrik fonksiyonların türevleri (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (\tan x)' = \sec^2 x, (\cot x)' = -\csc^2 x, (\sec x)' = \sec x \tan x, (\csc x)' = -\csc x \cot x uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
19. p = \sqrt{3 - t} = (3 - t)^{1/2}
\frac{dp}{dt} = \frac{1}{2}(3 - t)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3 - t}}
20. q = \sqrt[3]{2r - r^2} = (2r - r^2)^{1/3}
\frac{dq}{dr} = \frac{1}{3}(2r - r^2)^{-2/3} \cdot (2 - 2r) = \frac{2(1 - r)}{3\sqrt[3]{(2r - r^2)^2}}
21. s = \frac{4}{3\pi} \sin 3t + \frac{4}{5\pi} \cos 5t
\frac{ds}{dt} = \frac{4}{3\pi}(3\cos 3t) + \frac{4}{5\pi}(-5\sin 5t) = \frac{4}{\pi}(\cos 3t - \sin 5t)
22. s = \sin \left(\frac{3\pi t}{2}\right) + \cos \left(\frac{3\pi t}{2}\right)
\frac{ds}{dt} = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{3\pi t}{2}\right) - \frac{3\pi}{2}\sin\left(\frac{3\pi t}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\left[\cos\left(\frac{3\pi t}{2}\right) - \sin\left(\frac{3\pi t}{2}\right)\right]
23. r = (\csc \theta + \cot \theta)^{-1}
\frac{dr}{d\theta} = -(\csc \theta + \cot \theta)^{-2} \cdot (-\csc \theta \cot \theta - \csc^2 \theta) = \frac{\csc \theta(\cot \theta + \csc \theta)}{(\csc \theta + \cot \theta)^2} = \frac{\csc \theta}{\csc \theta + \cot \theta} = \frac{1}{1 + \cos \theta}
24. r = 6(\sec \theta - \tan \theta)^{3/2}
\frac{dr}{d\theta} = 6 \cdot \frac{3}{2}(\sec \theta - \tan \theta)^{1/2}(\sec \theta \tan \theta - \sec^2 \theta) = -9\sec \theta (\sec \theta - \tan \theta)^{3/2}
25. y = x^2 \sin^4 x + x \cos^{-2} x
y' = \left[2x \sin^4 x + 4x^2 \sin^3 x \cos x\right] + \left[\sec^2 x + 2x \sec^2 x \tan x\right]
26. y = \frac{1}{x} \sin^{-5} x - \frac{x}{3} \cos^3 x
y' = -\frac{\sin^{-5} x}{x^2} - \frac{5\cos x \sin^{-6} x}{x} - \frac{1}{3}\cos^3 x + x \cos^2 x \sin x
27. y = \frac{1}{21}(3x - 2)^7 + \left(4 - \frac{1}{2x^2}\right)^{-1}
y' = \frac{1}{21} \cdot 7(3x - 2)^6 \cdot 3 - \left(4 - \frac{1}{2x^2}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{x^3}\right) = (3x - 2)^6 - \frac{1}{x^3\left(4 - \frac{1}{2x^2}\right)^2}
28. y = (5 - 2x)^{-3} + \frac{1}{8}\left(\frac{2}{x} + 1\right)^4
y' = -3(5 - 2x)^{-4}(-2) + \frac{1}{8} \cdot 4\left(\frac{2}{x} + 1\right)^3\left(-\frac{2}{x^2}\right) = \frac{6}{(5 - 2x)^4} - \frac{1}{x^2}\left(\frac{2}{x} + 1\right)^3
29. y = (4x + 3)^4(x + 1)^{-3}
y' = 16(4x + 3)^3(x + 1)^{-3} - 3(4x + 3)^4(x + 1)^{-4} = \frac{(4x + 3)^3(4x + 7)}{(x + 1)^4}
30. y = (2x - 5)^{-1}(x^2 - 5x)^6
y' = -2(2x - 5)^{-2}(x^2 - 5x)^6 + 6(2x - 5)^{-1}(x^2 - 5x)^5(2x - 5) = 2(x^2 - 5x)^5\left[3 - \frac{x^2 - 5x}{(2x - 5)^2}\right]
31. h(x) = x \tan(2\sqrt{x}) + 7
h'(x) = 1 \cdot \tan(2\sqrt{x}) + x \sec^2(2\sqrt{x}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \tan(2\sqrt{x}) + \sqrt{x}\sec^2(2\sqrt{x})
32. k(x) = x^2 \sec\left(\frac{1}{x}\right)
k'(x) = 2x \sec\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \sec\left(\frac{1}{x}\right)\tan\left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x \sec\left(\frac{1}{x}\right) - \sec\left(\frac{1}{x}\right)\tan\left(\frac{1}{x}\right)
33. f(x) = \sqrt{7 + x \sec x}
f'(x) = \frac{(\sec x + x \sec x \tan x)}{2\sqrt{7 + x \sec x}} = \frac{\sec x (1 + x \tan x)}{2\sqrt{7 + x \sec x}}
34. g(x) = \frac{\tan 3x}{(x + 7)^4}
g'(x) = \frac{3\sec^2(3x)(x + 7)^4 - 4(x + 7)^3\tan(3x)}{(x + 7)^8} = \frac{3(x + 7)\sec^2(3x) - 4\tan(3x)}{(x + 7)^5}
35. f(\theta) = \left(\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}\right)^2
f'(\theta) = 2\left(\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}\right) \cdot \frac{\cos \theta(1 + \cos \theta) + \sin^2 \theta}{(1 + \cos \theta)^2} = \frac{2\sin \theta}{(1 + \cos \theta)^2}
36. g(t) = \left(\frac{1 + \sin 3t}{3 - 2t}\right)^{-1} = \frac{3 - 2t}{1 + \sin 3t}
g'(t) = \frac{-2(1 + \sin 3t) - (3 - 2t)(3\cos 3t)}{(1 + \sin 3t)^2} = -\frac{2 + 2\sin 3t + 3(3 - 2t)\cos 3t}{(1 + \sin 3t)^2}
37. r = \sin(\theta^2) \cos(2\theta)
\frac{dr}{d\theta} = 2\theta \cos(\theta^2)\cos(2\theta) - 2\sin(\theta^2)\sin(2\theta)
38. r = \sec \sqrt{\theta} \tan \left(\frac{1}{\theta}\right)
\frac{dr}{d\theta} = \frac{\sec \sqrt{\theta} \tan \sqrt{\theta} \tan(1/\theta)}{2\sqrt{\theta}} - \frac{\sec \sqrt{\theta}\sec^2(1/\theta)}{\theta^2}
39. q = \sin \left(\frac{t}{\sqrt{t + 1}}\right)
İç fonksiyonun türevi: \frac{d}{dt}\left[\frac{t}{(t+1)^{1/2}}\right] = \frac{(t+1)^{1/2} - t \cdot \frac{1}{2}(t+1)^{-1/2}}{t+1} = \frac{t + 2}{2(t + 1)^{3/2}}
\frac{dq}{dt} = \frac{t + 2}{2(t + 1)^{3/2}} \cos\left(\frac{t}{\sqrt{t + 1}}\right)
40. q = \cot \left(\frac{\sin t}{t}\right)
\frac{dq}{dt} = -\csc^2\left(\frac{\sin t}{t}\right) \cdot \left(\frac{t\cos t - \sin t}{t^2}\right) = \frac{\sin t - t\cos t}{t^2}\csc^2\left(\frac{\sin t}{t}\right)
CEVAP: 19–40 arasındaki tüm fonksiyon türevleri yukarıdaki adımlarda eksiksiz olarak türetilmiştir.
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Trigonometrik ve bileşke fonksiyonların türevinde en sık yapılan hata, parantez içindeki ifadenin türevinin (için türevi) çarpım olarak eklenmesinin unutulmasıdır. Negatif üsleri paydaya alarak veya trigonometrik özdeşliklerden faydalanarak türev işlemlerini çok daha sade hale getirebilirsiniz.
