Trigonometrik ve Cebirsel Fonksiyonların Türevi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Temel trigonometrik türevler (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (\tan x)' = \sec^2 x, (\cot x)' = -\csc^2 x, (\sec x)' = \sec x \tan x, (\csc x)' = -\csc x \cot x ile Çarpım Kuralı (u \cdot v)' = u'v + uv' ve Bölüm Kuralı \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1. y = -10x + 3\cos x
\frac{dy}{dx} = -10 - 3\sin x
2. y = 3x^{-1} + 5\sin x
\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^2} + 5\cos x
3. y = x^2 \cos x (Çarpım kuralı)
\frac{dy}{dx} = (2x)\cos x + x^2(-\sin x) = 2x\cos x - x^2\sin x
4. y = \sqrt{x}\sec x + 3
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\sec x + \sqrt{x}\sec x\tan x
5. y = \csc x - 4x^{1/2} + 7
\frac{dy}{dx} = -\csc x \cot x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\csc x\cot x - \frac{2}{\sqrt{x}}
6. y = x^2\cot x - x^{-2}
\frac{dy}{dx} = 2x\cot x - x^2\csc^2 x - (-2x^{-3}) = 2x\cot x - x^2\csc^2 x + \frac{2}{x^3}
7. f(x) = \sin x \tan x
f'(x) = \cos x \tan x + \sin x \sec^2 x = \sin x + \sin x\sec^2 x = \sin x(1 + \sec^2 x)
8. g(x) = \csc x \cot x
g'(x) = (-\csc x\cot x)\cot x + \csc x(-\csc^2 x) = -\csc x(\cot^2 x + \csc^2 x)
9. y = (\sec x + \tan x)(\sec x - \tan x) = \sec^2 x - \tan^2 x = 1
\frac{dy}{dx} = 0
10. y = (\sin x + \cos x)\sec x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = \tan x + 1
\frac{dy}{dx} = \sec^2 x
11. y = \frac{\cot x}{1 + \cot x} (Bölüm kuralı)
\frac{dy}{dx} = \frac{-\csc^2 x(1 + \cot x) - \cot x(-\csc^2 x)}{(1 + \cot x)^2} = -\frac{\csc^2 x}{(1 + \cot x)^2}
12. y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}
\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x(1 + \sin x) - \cos x(\cos x)}{(1 + \sin x)^2} = \frac{-\sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 + \sin x)^2} = \frac{-(1 + \sin x)}{(1 + \sin x)^2} = -\frac{1}{1 + \sin x}
13. y = 4\sec x + \cot x
\frac{dy}{dx} = 4\sec x\tan x - \csc^2 x
14. y = \frac{\cos x}{x} + \frac{x}{\cos x}
\frac{dy}{dx} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} + \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}
15. y = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x
\frac{dy}{dx} = (2x\sin x + x^2\cos x) + (2\cos x - 2x\sin x) - 2\cos x = x^2\cos x
16. y = x^2\cos x - 2x\sin x - 2\cos x
\frac{dy}{dx} = (2x\cos x - x^2\sin x) - (2\sin x + 2x\cos x) + 2\sin x = -x^2\sin x
17. f(x) = x^3\sin x\cos x = \frac{1}{2}x^3\sin(2x)
f'(x) = \frac{3}{2}x^2\sin(2x) + x^3\cos(2x) = 3x^2\sin x\cos x + x^3(\cos^2 x - \sin^2 x)
18. g(x) = (2 - x)\tan^2 x (Çarpım ve zincir kuralı)
g'(x) = -\tan^2 x + (2 - x) \cdot 2\tan x \sec^2 x = \tan x \left[ 2(2 - x)\sec^2 x - \tan x \right]
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 9 ve 10. sorularda türev almadan önce trigonometrik özdeşliklerle (\sec^2 x - \tan^2 x = 1 gibi) ifadeyi sadeleştirmek, uzun çarpım veya bölüm türevi işlemlerinden kurtararak çözümü doğrudan verir. 15 ve 16. sorularda ise birbirini götüren terimlere dikkat edilmelidir.
