Ali’nin elindeki hesap makinesi yalnızca 10 tabanında logaritma hesabı yapabildiği için Ali 2^x = 50 denkleminin çözümünü bu hesap makinesiyle doğrudan yapamıyor. Ali hesap makinesinin logaritma fonksiyonunu kullanarak \log 2 ong 0,3 olduğunu buluyor.
Buna göre Ali yalnızca bu bilgiyi kullanarak x’in değerini yaklaşık olarak kaç bulur?
A) \frac{57}{10}
B) \frac{17}{3}
C) \frac{28}{5}
D) \frac{16}{3}
E) \frac{53}{10}
Logaritma Taban Değiştirme ile Yaklaşık Değer Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \log_a(b) = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} (Taban Değiştirme Kuralı)
- \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b (Bölümün Logaritması)
- \log 100 = \log 10^2 = 2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliği 10 Tabanında Logaritma Cinsinden İfade Etme
Verilen 2^x = 50 üstel denkleminde her iki tarafın 10 tabanında logaritması alınır:
\log(2^x) = \log 50
x \cdot \log 2 = \log 50
x = \frac{\log 50}{\log 2}
Adım 2 — \log 50 Değerini \log 2 Cinsinden Yazma
50 sayısı \frac{100}{2} şeklinde yazılarak bilinen değerlere dönüştürülür:
\log 50 = \log\left(\frac{100}{2}\right) = \log 100 - \log 2
\log 100 = 2 \implies \log 50 = 2 - \log 2
Adım 3 — Yaklaşık Değeri Yerine Koyma ve Hesaplama
Soruda verilen \log 2 \cong 0{,}3 değeri yerine yazılır:
\log 50 \cong 2 - 0{,}3 = 1{,}7
x \cong \frac{1{,}7}{0{,}3} = \frac{\frac{17}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{17}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{17}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Değiştirme: Tabanı farklı olan üslü veya logaritmik ifadeleri, hesap makinesinin desteklediği ortak bir tabana (genellikle 10 veya e) dönüştürme işlemidir.
- 10 Tabanında 5’i Temsil Etme: \log 5 = \log\left(\frac{10}{2}\right) = 1 - \log 2 bağıntısı logaritma sorularında sıkça kullanılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \log 50’yi (5 \times 10) olarak ayırıp \log 5’in değerini bilmeden tıkanmak veya \log(a/b) = \frac{\log a}{\log b} yanılgısına düşmek.- Doğru Yaklaşım: 50’yi \frac{100}{2} biçiminde yazarak bilinen \log 100 = 2 ve verilen \log 2 değerlerini doğrudan kullanmak.
Benzer bir logaritma yaklaşık değer sorusu daha çözerek pratik yapmak ister misin?
@sorumatik_ai neden direkt x = log 2 tabanında 50 yazmak yerine her tarafın logaritmasını aldınız
Logaritma Denklemlerinde Her İki Tarafın Logaritmasını Alma Mantığı
Doğrudan x = \log_2 50 yazmak tamamen doğrudur ve matematiksel olarak hiçbir farkı yoktur. İki yöntem de bizi birebir aynı sonuca ulaştırır.
1. Yol: Doğrudan x = \log_2 50 Yazıp Taban Değiştirmek
Logaritmanın temel tanımından (a^x = b \iff x = \log_a b):
x = \log_2 50
Ancak Ali’nin hesap makinesi 2 tabanında işlem yapamayıp yalnızca 10 tabanında çalıştığı için bu ifadeyi 10 tabanına çevirmek (taban değiştirme kuralı uygulamak) gerekir:
x = \frac{\log_{10} 50}{\log_{10} 2}
2. Yol: Her İki Tarafın 10 Tabanında Logaritmasını Almak
Soruda makinenin yalnızca 10 tabanında hesap yaptığı belirtildiği için denklemin her iki tarafına doğrudan 10 tabanında logaritma uygulanabilir:
2^x = 50 \implies \log(2^x) = \log 50
x \cdot \log 2 = \log 50 \implies x = \frac{\log 50}{\log 2}
Özetle:
- Taban Değiştirme Kuralının İspatı: Aslında taban değiştirme kuralı (\log_a b = \frac{\log b}{\log a}), tam olarak denklemin her iki tarafının logaritması alınarak elde edilir.
- İki yaklaşım da aynı kapıya çıkar; doğrudan x = \log_2 50 yazıp ardından \frac{\log 50}{\log 2} şekline getirmek de son derece pratik ve geçerli bir çözümdür.
Taban değiştirme kuralının nereden geldiğini pekiştirmek için başka bir tabanla ilgili kısa bir örnek incelemek ister misin?
@sorumatik_ai ben böyle yapıp log5 te tıkandım
\log 5’te Tıkanmayı Önleyen Altın Kural: \log 2 + \log 5 = 1
Senin izlediğin yol kesinlikle doğru bir başlangıçtı. \log 50’yi 10 \times 5 olarak ayırmak en doğal yaklaşımdır:
\log 50 = \log(10 \cdot 5) = \log 10 + \log 5 = 1 + \log 5
Burada tıkanmanın sebebi, 10 tabanındaki en önemli logaritma hilelerinden birini o an fark etmemiş olmandır.
\log 5 Nasıl Bulunur?
10 tabanında çalışırken 5 sayısı her zaman \frac{10}{2} şeklinde ifade edilebilir:
5 = \frac{10}{2}
Her iki tarafın logaritmasını aldığımızda:
\log 5 = \log\left(\frac{10}{2}\right)
\log 5 = \log 10 - \log 2
\log 5 = 1 - \log 2
\log 2 + \log 5 = \log(2 \times 5) = \log 10 = 1
Kaldığın Yerden Devam Edelim:
Soruda bize \log 2 \cong 0{,}3 verilmişti:
-
\log 5’i bulalım:
\log 5 \cong 1 - 0{,}3 = 0{,}7 -
Senin yazdığın ifadede yerine koyalım:
\log 50 = 1 + \log 5 \cong 1 + 0{,}7 = 1{,}7 -
Sonucu hesaplayalım:
x = \frac{\log 50}{\log 2} \cong \frac{1{,}7}{0{,}3} = \frac{17}{3}
Gördüğün gibi senin yöntemin de doğrudan aynı doğru cevaba çıkıyor. Tek yapman gereken \log 5 yerine 1 - \log 2 yazmaktı.
Bu kuralı pekiştirmek için \log 2 \cong 0{,}3 iken \log 25’in yaklaşık değerini nasıl bulabileceğimizi birlikte yazalım mı?