Ali ile Ahmet birlikte çalışarak 10 saatte bitirecekleri işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte 4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Geriye kalan işi Ahmet 9 saatte bitirdiğine göre, bu işin tümünü Ali tek başına kaç saatte bitirebilirdi?

YKS TYT
1

IMG_20260124_145120
IMG_20260124_145120720×960 33.7 KB

2

Ali tek başına işi kaç saatte bitirebilirdi?

Önemli Noktalar

  • Ali ile Ahmet birlikte işi 10 saatte bitiriyorlar.
  • İkisi birlikte 4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor.
  • Geri kalan işi Ahmet 9 saatte bitiriyor.
  • Amaç: Ali’nin işi tek başına tamamlaması için gereken süre.

Ali ile Ahmet’in birlikte çalışma hızları toplam işin tamamını 10 saatte bitirdiğine göre, birim zamanda yaptıkları iş miktarı:

\frac{1}{10} \text{ iş/saat}

İkisi birlikte 4 saat çalıştığında yaptıkları iş:

4 \times \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 \text{ (işin %40'ı)}

Kalan iş:

1 - 0.4 = 0.6

Bu kalan işi Ahmet 9 saatte bitirdiğine göre, Ahmet’in 1 saatte yaptığı iş miktarı:

\frac{0.6}{9} = \frac{1}{15} \text{ iş/saat}

Ahmet’in 1 saatte yaptığı iş: \frac{1}{15}.

Birlikte yapılan işin hızından dolayı Ali’nin 1 saatte yaptığı iş şöyle bulunur:

\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}

Ali’nin saate yaptığı iş \frac{1}{30} ise, Ali’nin işi tek başına bitirme süresi:

30 \text{ saat}

İçindekiler

  1. Problemin Analizi
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi

Bu tür iş ve zaman problemlerinde işin tamamı 1 birim olarak kabul edilir. Ali ve Ahmet’in birlikte çalışma hızları toplam iş miktarına göre ifade edilir.

:light_bulb: Pro Tip: Birlikte çalışma hızlarının toplamı, ayrı ayrı çalışma hızlarının toplamına eşittir.

İlk aşamada birlikte 4 saat çalıştıklarından bu süre içinde yaptıkları iş toplam işin \frac{4}{10} 'ıdır. Kalan iş ise Ahmet tarafından tamamlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

  1. Birlikte çalışma hızı:

    \frac{1}{10} \text{ iş/saat}

  2. 4 saatlik birlikte çalışma sonucu yapılan iş:

    4 \times \frac{1}{10} = 0.4

  3. Kalan iş miktarı:

    1 - 0.4 = 0.6

  4. Ahmet’in çalışma hızı:

    \frac{0.6}{9} = \frac{1}{15} \text{ iş/saat}

  5. Ali’nin çalışma hızı:

    \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \text{ iş/saat}

  6. Ali’nin işi tek başına bitirme süresi:

    \frac{1}{(\frac{1}{30})} = 30 \text{ saat}

Özet Tablo

Unsur Değer
Birlikte çalışma süre 10 saat
Birlikte çalışma hızı (iş/saat) \frac{1}{10}
4 saatlik birlikte çalışma iş miktarı 0.4 (yani %40)
Kalan iş miktarı 0.6 (yani %60)
Ahmet’in çalışma hızı \frac{1}{15} iş/saat
Ali’nin çalışma hızı \frac{1}{30} iş/saat
Ali’nin işi bitirme süresi 30 saat

Sık Sorulan Sorular

1. Bu problemin geneli nasıl çözülür?
İşin tamamı 1 olarak alınır, kişilerin iş tamamlama hızları hesaplanır. Birlikte çalıştıkları süre yapılmış iş hesaplanır ve geriye kalan parça tek başına çalışan kişi veya kişilerce tamamlanır.

2. Eğer ikisi birlikte 5 saat çalışıp bıraksaydı sonuç ne olurdu?
Benzer şekilde 5 saatte yapılan iş hesaplanır, kalan iş Ahmet veya Ali tarafından tamamlanır ve Ali’nin hızı ve tamamlanma süresi bulunur.

3. Ali ve Ahmet’in ayrı ayrı çalışma süreleri verilirse nasıl çözülür?
Ayrı ayrı çalışma süreleri biliniyorsa, her birinin iş tamamlama hızları bulunur ve problemin diğer parçaları bu hızlar üzerinden çözülebilir.

Sonraki Adımlar

Bu tarz iş ve zaman problemlerine benzer olarak,

  • Ahmet’in işi tek başına bitirme süresi nasıl hesaplanır?
  • Birlikte çalışma ve ayrı ayrı çalışma sürelerinin karşılaştırması nasıl yapılır?
    gibi soruları inceleyelim mi?

@Vedat4

3

Ali ile Ahmet birlikte çalışarak 10 saatte bitirecekleri işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte 4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Geriye kalan işi Ahmet 9 saatte bitirdiğine göre, bu işin tümünü Ali tek başına kaç saatte bitirebilirdi?

  • Ali ve Ahmet’in ortak çalışma hızı iş-inşa problemlerinde toplam iş = hız × zaman formülüyle bulunur.
  • İlk 4 saatte yapılan işin %40’ı tamamlanır.
  • Kalan işin Ahmet tarafından 9 saatte bitirilmesi, Ahmet’in saatlik hızı 1/15 iş birimi/saat olduğunu gösterir.

Ali tek başına tüm işi 30 saatte bitirirdi.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Ali ve Ahmet Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Birlikte 10 saatte 1 iş → ortak hız
    R_{\text{ortak}} = \frac{1\ \text{iş}}{10\ \text{saat}} = \frac{1}{10}\ \text{iş/saat}.
  2. İlk 4 saatte yapılan iş
    4 \times R_{\text{ortak}} = 4 \times \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = 0{,}4\ \text{iş}.
  3. Kalan iş
    1 - 0{,}4 = 0{,}6\ \text{iş}.
  4. Ahmet’in hızı
    R_{\text{Ahmet}} = \frac{0{,}6\ \text{iş}}{9\ \text{saat}} = \frac{0{,}6}{9} = \frac{1}{15}\ \text{iş/saat}.
  5. Ali’nin hızı
    $$R_{\text{Ali}} = R_{\text{ortak}} - R_{\text{Ahmet}}
    = \frac{1}{10} - \frac{1}{15}
    = \frac{3-2}{30}
    = \frac{1}{30}\ \text{iş/saat}.$$
  6. Ali tek başına 1 işi tamamlama süresi
    $$t_{\text{Ali}} = \frac{1\ \text{iş}}{R_{\text{Ali}}}
    = \frac{1}{1/30}
    = 30\ \text{saat}.$$

Ali ve Ahmet Karşılaştırma Tablosu

İşçi Hız (iş/saat) Tek Başına Tamam Süresi
Ali 1/30 30 saat
Ahmet 1/15 15 saat
Birlikte 1/10 10 saat

Özet Tablosu

Adım Değer
Ortak hız 1/10 iş/saat
İlk 4 saatte iş miktarı 0{,}4 iş
Kalan iş 0{,}6 iş
Ahmet’in hızı 1/15 iş/saat
Ali’nin hızı 1/30 iş/saat
Ali’nin süre 30 saat

SSS

  1. İş-hız problemlerinde hız nasıl tanımlanır?
    • Hız, birim zamanda yapılan iş miktarıdır: $$\text{hız} = \frac{\text{yapılan iş}}{\text{süre}}.$$
  2. Ortak çalışma hızını nasıl buluruz?
    • Bireysel hızların toplamını alırız: $$R_{\text{ortak}} = R_1 + R_2 + \dots.$$
  3. Bir işin belirli kısmı tamamlandığında kalan iş nasıl hesaplanır?
    • Kalan iş = Toplam iş − Tamamlanan kısım.
  4. Oran problemlerinde iş miktarını yüzde cinsinden nasıl gösterebiliriz?
    • Örneğin 0{,}4 iş, işin %40’ına karşılık gelir.

Benzer bir iş-hız problemi çözmek ister misiniz? @Vedat4