- Aşağıda üzerinde sayılar yazan on kart verilmiştir.
1 , 21 , 51 , 34 , 11
12 , 9 , 18 , 19 , 91
Ali, verilen kartlardan altı tanesini aşağıdaki gibi ikişerli olarak gruplamıştır.
1 ve 9 , 11 ve 12 , 51 ve ?
Ali, grupladığı kartlardan aralarında asal olanları maviye boyamıştır.
Ali iki grubu maviye boyadığına göre’?’ yazan kart yerine kaç farklı kart seçebilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4 - Aşağıdaki çuvalların üzerine içlerindeki pirinç tanelerinin sayısı yazılmıştır.
A: 32^5 tane
B: 4^{11} tane
C: 64^4 tane
Bu çuvalların, içerisindeki pirinç tanelerinin sayısına göre büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) A > B > C
B) C > B > A
C) A > C > B
D) C > A > B - Aşağıda orta refüjündeki çim alana otomatik sulama hattı yapılacak olan caddenin görseli verilmiştir. Refüj üzerinde işaretlenen A, B ve C noktalarında su vanaları bulunmaktadır.
Sulama hattının yapılacağı A ve B vanaları arasındaki mesafe 180 m, B ve C vanaları arasındaki mesafe 150 m’dir. Bu hat üzerine vanalara ve birbirlerine metre cinsinden eşit mesafede olacak şekilde fıskiyeler doğrusal olarak yerleştirilecektir.
Buna göre ardışık iki fıskiye arasındaki mesafenin metre cinsinden alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?
A) 4
B) 6
LGS Matematik: Aralarında Asal Sayılar, Üslü İfadeler ve EBOB Problemleri
1. Soru: Aralarında Asal Sayılar ve Kart Seçimi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birden başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. 1 sayısı tüm pozitif tam sayılarla, ardışık pozitif tam sayılar ise her zaman birbiriyle aralarında asaldır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
-
Mevcut Grupların Durumu:
- 1 ve 9 \implies \text{EBOB}(1, 9) = 1 (Aralarında asaldır, 1. grup maviye boyanır).
- 11 ve 12 \implies Ardışık sayılar oldukları için \text{EBOB}(11, 12) = 1 (Aralarında asaldır, 2. grup maviye boyanır).
-
Üçüncü Grubun İncelenmesi:
- Ali toplamda yalnızca iki grubu maviye boyadığına göre; 3. grup olan (51, ?) grubu aralarında asal olmamalıdır (\text{EBOB}(51, ?) > 1).
- 51 = 3 \times 17 olduğundan, seçilecek kartın 3 veya 17 ile bölünebilen bir sayı olması gerekir.
-
Kullanılmayan Kartların Analizi:
- Kullanılan kartlar: 1, 9, 11, 12, 51
- Kalan kartlar: 18, 19, 21, 34, 91
- 18: 3’e bölünür \implies \text{EBOB}(51, 18) = 3 > 1 (Aralarında asal değildir, uygun).
- 21: 3’e bölünür \implies \text{EBOB}(51, 21) = 3 > 1 (Aralarında asal değildir, uygun).
- 34: 17’ye bölünür \implies \text{EBOB}(51, 34) = 17 > 1 (Aralarında asal değildir, uygun).
- 19: Asal sayıdır \implies \text{EBOB}(51, 19) = 1 (Aralarında asal olur, kuralı bozar).
- 91: 7 \times 13 \implies \text{EBOB}(51, 91) = 1 (Aralarında asal olur, kuralı bozar).
Buradan ‘?’ yerine gelebilecek 3 farklı kart (18, 21, 34) vardır.
CEVAP: C) 3
2. Soru: Üslü İfadelerde Taban Eşitleme ve Sıralama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üssün üssü kuralı (a^x)^y = a^{x \cdot y} uygulanarak tabanlar aynı asal tabana (burada 2 tabanına) dönüştürülür ve üsleri büyük olan ifade daha büyük kabul edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
-
Çuvallardaki Değerleri 2 Tabanında Yazma:
A = 32^5 = (2^5)^5 = 2^{25}B = 4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22}C = 64^4 = (2^6)^4 = 2^{24} -
Büyükten Küçüğe Sıralama:
2^{25} > 2^{24} > 2^{22} \implies A > C > B
CEVAP: C) A > C > B
3. Soru: EBOB ve Ortak Bölen Sayısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşit aralıklı yerleştirme problemlerinde aralık uzunluğu, verilen iki uzunluğun en büyük ortak böleninin (\text{EBOB}) bir tam böleni olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
-
Ortak Bölenin Bulunması:
Fıskiyeler arası mesafe d hem 180 m’yi hem de 150 m’yi tam bölmelidir.\text{EBOB}(180, 150) = 30\text{ m} -
Alınabilecek Farklı Doğal Sayı Değerleri:
Mesafe d, 30’un pozitif tam sayı bölenleri kadar farklı değer alabilir:30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1\text{Pozitif Bölen Sayısı} = (1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8(Bu değerler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 metre)
CEVAP: D) 8
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda “en az fıskiye” denmediği için yalnızca \text{EBOB} değerini almak yerine, \text{EBOB}'un tüm pozitif çarpanlarını saymamız gerekir.