- Dairesel bir oyun alanında konumlari şekilde gösterilen
Ali, Büşra, Cem, Deniz ve Ekin isimli beş oyuncu bir
topla oyun oynamaktadır. Bu oyunun her seferinde:
elinde top bulunan oyuncu, ok yönünde kendinden
sonraki üçüncü oyuncuya topu vermektedir.
Ali
Ekin
Büşra
Deniz
Cem
Başlangıçta top Ali’nin elinde bulunmaktadır ve Ali’nin
topu Deniz’e vermesiyle oyun başlamıştır.
bu şekilde devam etmiştir.
Buna göre, 99. seferde topu kim almıştır?
A) Ali
B) Büşra
D) Deniz
E) Ekin
C) Cem
Dairesel Oyunda 99. Seferde Topu Alan Kişiyi Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Belirli bir kurala göre tekrarlayan olaylarda periyot (döngü) bulunur ve modüler aritmetik (bölme işleminden kalan) uygulanır:
\text{Sefer Sayısı} \equiv \text{Kalan} \pmod{\text{Periyot}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Oyuncuların Dairesel Sıralamasını ve Pas Kuralını Belirleme
Ok yönünde (saat yönünde) oyuncuların dizilişi:
\text{Ali} \rightarrow \text{Büşra} \rightarrow \text{Cem} \rightarrow \text{Deniz} \rightarrow \text{Ekin}
Kurala göre her oyuncu topu ok yönünde kendisinden sonraki 3. oyuncuya vermektedir.
Adım 2 — Topun İlerleme Sırasını ve Periyodu Bulma
- Başlangıç: Top Ali’nin elindedir.
- 1. Sefer: Ali’den sonraki 3. kişi \rightarrow Deniz
- 2. Sefer: Deniz’den sonraki 3. kişi (Ekin, Ali, Büşra) \rightarrow Büşra
- 3. Sefer: Büşra’dan sonraki 3. kişi (Cem, Deniz, Ekin) \rightarrow Ekin
- 4. Sefer: Ekin’den sonraki 3. kişi (Ali, Büşra, Cem) \rightarrow Cem
- 5. Sefer: Cem’den sonraki 3. kişi (Deniz, Ekin, Ali) \rightarrow Ali
Döngü 5 seferde bir başa dönmektedir. Dolayısıyla periyot 5’tir.
Adım 3 — 99. Sefer İçin Modüler Hesaplama Yapma
99 sayısının periyoda (5’e) bölümünden kalanı bulalım:
99 = 5 \times 19 + 4
Kalan 4 olarak bulunur.
Adım 4 — Kalan Değerine Karşılık Gelen Oyuncuyu Belirleme
- Kalan 1 \rightarrow Deniz
- Kalan 2 \rightarrow Büşra
- Kalan 3 \rightarrow Ekin
- Kalan 4 \rightarrow Cem
- Kalan 0 \rightarrow Ali
Kalan 4 olduğu için 99. seferde topu Cem almıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) Cem
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Periyodik Durumlar (Modüler Aritmetik)
- Tanım: Eşit aralıklarla veya belirli bir düzenle kendini tekrar eden olayların matematiksel modellemesidir.
- Bu problemde: 5 oyuncu olduğu ve her seferinde 3 adım ilerlendiği için oyun her 5 seferde bir başlangıçtaki durumuna geri dönmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Başlangıç Durumunu 1. Sefer Saymak
- Yanlış: Ali’yi 1. sefer olarak sayıp 99 \equiv 4 sonucunu Ekin veya Ali ile eşleştirmek.
- Doğru: 1. sefer Ali’nin topu atmasıyla başlar, yani topu ilk alan kişi Deniz’dir.
- Neden yanlış: Problemde “Topu 1. seferde Deniz almış” şeklinde açıkça belirtilmiştir; başlangıç 0. adım olarak kabul edilmelidir.
Benzer bir periyodik problem çözerek konuyu daha iyi pekiştirmek ister misin?