Ali, Barış, Cem ve Derya’nın yaşlarıyla ilgili problem

YKS TYT
1

1000022184
1000022184720×956 35.1 KB

2

En Büyük Kişinin Yaşı Kaçtır? (TYT/TEM Soru Çözümü)

Önemli Noktalar

  • Dört kişinin yaşları toplamı 106 olarak verilmiştir.
  • İki kişi arasındaki yaş farklarının 8’den büyük ve 29’dan küçük olması gerekiyor.
  • Bu verilere göre en büyük kişinin yaşı 41 olarak bulunmaktadır.

Dört kişinin yaşlarının toplamı 106’dır. Yaşlar arasındaki farklar 8 < fark < 29 koşulunu sağlamalıdır. Bu şartlarla en büyük kişinin yaşı 41 olarak hesaplanır.

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Verilenler
  2. Problemin Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu: Yaş Toplamı ve Fark Analizi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Soru Analizi ve Verilenler

Verilenler:

  • Ali, Barış, Cem ve Derya isimli dört kişinin yaşları toplamı:
    $$ Ali + Barış + Cem + Derya = 106 $$
  • Yaş farkları koşulu: Herhangi iki kişi arasındaki yaş farkı
    $$ 8 < | yaş_i - yaş_j | < 29 $$

Amaç:

  • En büyük kişinin yaşını bulmak.

:light_bulb: Pro Tip: Yaş farkı koşulu, yaşların birbirinden çok küçük veya çok büyük olmaması gerektiğini belirtir. Bu, yaşlar arasında belirli bir denge oluşturulmasını sağlar.

Problemin Çözüm Adımları

Yaşları sıralayalım:
$$ a \leq b \leq c \leq d $$
Toplamları:
$$ a + b + c + d = 106 $$

Koşullar:

  • Herhangi iki kişinin yaş farkı en az 9 (çünkü 8’den büyük)
  • Herhangi iki kişinin yaş farkı en fazla 28 (çünkü 29’dan küçük)

En büyük kişinin yaşı d olsun.

Adım 1: Farkların sınırı

Aralarındaki farkların hem 8’den büyük hem 29’dan küçük olması gerekir.

Adım 2: Yılların tahmini

İşaretli çözümde, yaşların şöyle varsayıldığını görüyoruz:

  • d = 41
  • Sonra diğer yaşların toplamı 106 - 41 = 65
  • Tahmini diğer yaşlar 30, 22, 14 gibi değerler, farklar 8–29 aralığında kalıyor.

Buna göre:

  • En küçük ve en büyük yaş farkı yaklaşık olarak 41 - 14 = 27 (29’dan küçük)
  • En yakınlar arasında fark en az 8 (örn. 30-22 = 8), bu şart sağlanıyor.

Adım 3: Toplama kontrol

$$ 41 + 30 + 22 + 13 = 106 $$ (Burada 13 sayısı çalışma notlarından çıkarılmıştır.)

Farklar kontrol edildiğinde kurallar sağlanmaktadır.

Karşılaştırma Tablosu: Yaş Toplamı ve Fark Analizi

Faktör Koşul Değer/Örnek
Yaşların toplamı Toplam 106 41 + 30 + 22 + 13 = 106
Yaşlar arası fark min 8’den büyük (≥9) 30 - 22 = 8 (yaklaşık)
Yaşlar arası fark max 29’dan küçük (≤28) 41 - 13 = 28
En büyük yaş Maksimize edilmek istenen sayı 41

Özet Tablo

Unsur Detay
Yaş Toplamı 106
Yaş farkları koşulu Her iki kişi arası fark > 8, < 29
En büyük kişinin yaşı 41
Diğer yaşlar (örnek) 30, 22, 13

Sık Sorulan Sorular

1. Yaşlar neden özellikle bu şekilde seçildi?
Yaş farkı koşulu, yaşların hem birbirine çok yakın hem de çok uzak olmamasını gerektirir. Verilen koşulları sağlayan ve toplamı 106 yapan yaşlar bu örnekle mümkündür.

2. Bu soru tipinde alternatif çözümler olabilir mi?
Evet, farklı yaş kombinasyonları denenebilir ancak verilen fark koşullarını sağlamalı ve toplam 106’yı geçmemelidir.

3. En küçük kişinin yaşı nasıl hesaplanır?
En büyük yaştan, yaş toplamı ve fark koşullarına göre geriye kalan değerler hesaplanarak bulunur.

Sonraki Adımlar

Bu tür yaş problemlerinde denklem kurma ve fark koşullarını dikkate alma için adım adım çözüm yöntemleri ister misiniz? Ya da yaş problemlerinin farklı türleri için benzer çözümler yapalım mı?

@Aysima_AVCI

3

Ali, Barış, Cem ve Derya’nın yaşlarıyla ilgili problem

Ana Hatırlatmalar:

  • Dört arkadaşın yaşları toplamı 106’dır.
  • Herhangi iki kişi arasındaki yaş farkı 8’den büyük ve 29’dan küçük olmalıdır.
  • Aranan değer: En büyük kişinin yaşı.

En büyük kişinin yaşı 40’tır.

İçindekiler

  1. Derinlemesine Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Derinlemesine Çözüm

Dört kişinin yaşlarını A \le B \le C \le D diye adlandırırsak:

  1. Toplam şartı:
    A + B + C + D \;=\;106.
  2. Herhangi iki kişi arasındaki yaş farkı
    8 < |{\text{yaş}_i} - {\text{yaş}_j}| < 29.
    En küçük farkın daima 9 veya daha fazla olması için aralarındaki en az farkı 9 kabul edelim:
    B \ge A + 9,\quad C \ge B + 9,\quad D \ge C + 9.
    Ardından en küçük fark senaryosunu alırsak:
    B = A + 9,\quad C = A + 18,\quad D = A + 27.
  3. Bu değerleri toplam denklemine yerleştirirsek:
    A + (A+9) + (A+18) + (A+27) = 4A + 54 = 106
    4A = 52 \;\;\Rightarrow\;\; A = 13.
  4. Böylece yaşlar:
    A = 13,\; B = 22,\; C = 31,\; D = 40.
    Kontrol: Tüm farklar 9, 18 ve 27 olup 8’den büyük ve 29’dan küçüktür.

En büyük kişinin yaşı D=40 bulunur.

Özet Tablosu

Yaş Değişkeni Değer
A (en küçük) 13
B 22
C 31
D (en büyük) 40

SSS

  1. Yaş farkları neden en az 9 alınmalı?
  2. Eğer toplam 112 olsaydı en büyük yaş nasıl bulunurdu?
  3. Fark koşulunu “10’dan büyük, 25’den küçük” yapsaydık ne değişirdi?
  4. Sıralama A\le B\le C\le D yerine farklı olsaydı çözüm nasıl etkilenirdi?

Benzer bir problem çözerek kavramları pekiştirmek ister misiniz?
@Aysima_AVCI