Ali, Ahmet ve Fatih Birlikte Çalışarak İşin Kaç Günde Bittiği Problemi Çözümü

YKS TYT
1

IMG_20260124_145048
IMG_20260124_145048720×960 38.1 KB

2

Ali, Ahmet ve Fatih Birlikte Çalışarak İşin Kaç Günde Bittiği Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • İşçi verimliliği, işin tamamını bitirme sürelerinin tersine orantılıdır.
  • Ali, Ahmet ve Fatih’in birlikte çalışma süreleri verilmektedir; birlikte çalışma süresi bulunmalıdır.
  • Problemi çözerken üç farklı ikili grubun iş bitirme hızları toplanır ve toplam hız bulunur.

Bir işi Ali ile Ahmet birlikte 12 günde, Ahmet ile Fatih birlikte 15 günde, Fatih ile Ali birlikte 10 günde bitiriyorsa, üçü birlikte bu işi kaç günde bitirir?

Problemin çözüm adımları:

  1. Ali ve Ahmet’in günlük iş bitirme oranı: 1/12
  2. Ahmet ve Fatih’in günlük iş bitirme oranı: 1/15
  3. Fatih ve Ali’nin günlük iş bitirme oranı: 1/10

Bunların toplamı:
(1/12) + (1/15) + (1/10) = ?

Ortak payda 60 olarak alınırsa:
(5/60) + (4/60) + (6/60) = 15/60 = 1/4

Burada toplam üç kişi günlük olarak işin 1/4’ünü birlikte yapar. Ancak bu toplam, her işçinin iki kez dahil edilmesiyle oluşmuştur (çift sayılmıştır).

Buna göre üç kişinin günlük iş oranı:
(1/4) ÷ 2 = 1/8

Yani üçü birlikte işin 1/8’ini bir günde yapabilirler.

Sonuç: İş tamamı = 1, günlük iş tamamlanma oranı = 1/8,
İşin tamamı kaç günde biter?

Gün sayısı = 1 / (1/8) = 8 gün.

İçindekiler

  1. Problemin Anlaşılması ve Formülasyon
  2. Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu: İkili vs Üçlü Çalışma Süreleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Anlaşılması ve Formülasyon

Bu problem, iş ve işçi verimliliği konusundaki temel matematik problemlerinden biridir. İş bitirme süreleri, işçinin günlük çalışma etkinliği ile ters orantılıdır. İkili çalışma sürelerinden yola çıkarak üç kişinin birlikte çalışma süresini bulmak için önce günlük iş bitirme oranları hesaplanır ve toplanır.

:light_bulb: Pro Tip: İkili çalışma sürelerini toplayıp ikiye bölmek, üç kişinin günlük iş oranını verir çünkü her işçi ikili sayılan toplamda iki defa sayılmıştır.

Çözüm Adımları

  1. İkili çalışma oranlarını hesaplayın:

    • Ali + Ahmet = 1/12
    • Ahmet + Fatih = 1/15
    • Fatih + Ali = 1/10

  2. Bu oranları toplayın:
    \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{6}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}

  3. Her işçi ikili toplamda iki kez sayıldı. Üç işçinin toplam günlük oranı:
    \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}

  4. Üçü birlikte işin tamamını kaç günde bitirir?
    Gün = 1 ÷ (1/8) = 8 gün.

Karşılaştırma Tablosu: İkili vs Üçlü Çalışma Süreleri

Çalışanlar Günlük İş Oranı İşin Bitirilme Süresi (gün)
Ali + Ahmet 1/12 12
Ahmet + Fatih 1/15 15
Fatih + Ali 1/10 10
Ali + Ahmet + Fatih 1/8 8

Özet Tablo

Faktör Değer
Ali + Ahmet iş tamamlama süresi 12 gün
Ahmet + Fatih iş tamamlama süresi 15 gün
Fatih + Ali iş tamamlama süresi 10 gün
Üçü birlikte iş tamamlama süresi 8 gün
Toplam üç kişinin günlük iş oranı 1/8

Sık Sorulan Sorular

1. Üç kişinin birlikte çalışması neden ikili çalışma sürelerinin toplamının yarısıdır?
Çünkü her işçi ikili çalışma toplamında iki kez sayıldığı için toplam oran ikiye bölünür. Böylece gerçek toplam günlük oran bulunur.

2. Problemde oranları nasıl toplamalıyız?
İkili grupların iş tamamlama oranları toplanarak, toplam üç kişinin iş tamamlama oranı bulunur.

3. Günlük iş oranı ne anlama gelir?
Bir işçinin veya grubun bir günde yapabildiği işin kesri/gücüdür. Örneğin 1/12, işin %8.33’ünü bir günde bitirme demektir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz aynı yöntemle Can, Barış ve diğer işçi problemlerinin çözümlerini detaylıca açıklayabilirim. Ya da özellikle iş ve işçi problemlerinde sık yapılan hataları listeleyebilirim. Hangisini tercih edersiniz?

@Vedat4

3

Soru Tekrarı

Bir işi Ali ile Ahmet birlikte çalışarak 12 günde, Ahmet ile Fatih birlikte çalışarak 15 günde, Fatih ile Ali birlikte çalışarak 10 günde bitirebilmektedir. Buna göre, üçü birlikte çalışarak aynı işi kaç günde bitirebilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Önemli Noktalar

  • İki kişinin günlük iş oranı toplamı, işin tamamının 1 biriminin o gün kaçta kaçı yapılır.
  • Üç kişinin toplam iş oranı bireysel oranların toplamına eşittir.
  • Toplam iş miktarını 1 birim olarak kabul ediyoruz.

Doğrudan Cevap

Üçü birlikte çalışarak işi 8 günde bitirir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm

Toplam işi 1 birim kabul edersek, günlük çalışma oranları r_A,\;r_{Ah},\;r_F olsun.

  1. Ali + Ahmet:
r_A + r_{Ah} = \frac{1}{12}.
  1. Ahmet + Fatih:
r_{Ah} + r_F = \frac{1}{15}.
  1. Fatih + Ali:
r_F + r_A = \frac{1}{10}.

Bu üç denklemi toplarsak:

2\,(r_A + r_{Ah} + r_F) = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{5+4+6}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}.

Böylece

r_A + r_{Ah} + r_F = \frac{1}{8}.

Üçü birlikte günde \tfrac18 birim iş yapar, yani toplam 1 birim işi

t = \frac{1}{\tfrac18} = 8 \text{ gün}

sürede bitirir.

Karşılaştırma Tablosu

Birliktelik Günlük İş Oranı İşin Bitme Süresi
Ali + Ahmet 1/12 12 gün
Ahmet + Fatih 1/15 15 gün
Fatih + Ali 1/10 10 gün
Ali + Ahmet + Fatih 1/8 8 gün

Özet Tablosu

Kişiler Toplam Günlük Oran Süre (gün)
Ali + Ahmet r_A + r_{Ah}=\tfrac1{12} 12
Ahmet + Fatih r_{Ah} + r_F=\tfrac1{15} 15
Fatih + Ali r_F + r_A=\tfrac1{10} 10
Üçü Birlikte r_A+r_{Ah}+r_F=\tfrac1{8} 8

SSS

S1. Neden iş miktarı 1 kabul ediliyor?
C1. İşin tamamını “1 birim” olarak almak, oran ve süre hesaplarını basitleştirir.

S2. Eşitlikleri toplarken neden 2(r_A+r_{Ah}+r_F) oluyor?
C2. Her denklemde ikili oranlar var, toplamda her bireysel oran iki kez sayılır.

S3. Ortak payda bulmak niçin gerekli?
C3. Kesirleri toplarken paydaların eşitlenmesi doğru toplamı verir.

Sonraki Adım

Bu yöntemi kullanarak farklı iki- veya üç kişilik çalışma problemleri çözmek ister misiniz? @Vedat4