Alanları oranı 0,8 olan iki dik yamuktan oluşan aşağıdaki şekilde bulunan toplam 7 kenarın uzunlukları bir kağıda tek tek yazıldığında kağıda 5 farklı sayı yazılmış oluyor.
Buna göre sarı renkli yamuğun birbirine paralel olan kenarlarının uzunlukları farkının, pembe renkli yamuğun yüksekliğine oranı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0,25
B) 0,5
C) 0,6
D) 0,8
E) 1
@Akademik_Rehber sorunun devamını anlatsana
Dik Yamuklarda Alan ve Kenar Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Dik Yamuğun Alanı:\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}
- Dik Üçgende Pisagor Teoremi:(\text{Tabanlar Farkı})^2 + (\text{Yükseklik})^2 = (\text{Eğik Kenar})^2\left(\frac{\Delta}{e}\right)^2 + \left(\frac{h}{e}\right)^2 = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekildeki Kenarların ve Dikliklerin Belirlenmesi
Şekildeki iki dik yamuğun kenarlarını tanımlayalım:
- Sarı dik yamuk:
- Paralel tabanları: a (üst taban) ve b (alt taban)
- Yüksekliği: h_s (sol düşey kenar)
- Ortak eğik kenar: e
- Pembe dik yamuk:
- Şekildeki diklik işaretlerinden görüldüğü üzere, pembe yamuğun tabanları ortak kenar olan e’ye diktir. Dolayısıyla pembe yamuğun yüksekliği e kenarıdır.
- Pembe yamuğun paralel tabanları: x ve y
- Diğer eğik kenarı: z
Şekildeki toplam 7 kenar şunlardır:
\{a, \, b, \, h_s, \, e, \, x, \, y, \, z\}
Adım 2 — Kenar Sayısı Şartının Değerlendirilmesi
Toplam 7 kenar uzunluğu yazıldığında kağıtta 5 farklı sayı oluşmaktadır. Bu durum, kenarlardan iki çiftin birbirine eşit olduğunu gösterir:
x = a \quad \text{ve} \quad y = b
Böylece kenar kümesi \{a, \, b, \, e, \, h_s, \, z\} olmak üzere tam 5 farklı sayıdan oluşur.
Buradan her iki yamuğun paralel kenarlarının toplamının birbirine eşit olduğu görülür:
a + b = x + y
Adım 3 — Alanlar Oranının Kurulması
Yamukların alan bağıntılarını yazıp oranlayalım:
\text{Alan}_{\text{sarı}} = \frac{a + b}{2} \cdot h_s
\text{Alan}_{\text{pembe}} = \frac{x + y}{2} \cdot e = \frac{a + b}{2} \cdot e
Alanlar oranı 0,8 olarak verildiğinden:
\frac{\text{Alan}_{\text{sarı}}}{\text{Alan}_{\text{pembe}}} = \frac{\frac{a + b}{2} \cdot h_s}{\frac{a + b}{2} \cdot e} = \frac{h_s}{e} = 0,8
Adım 4 — Pisagor Bağıntısı ile İstenen Oranın Bulunması
Sarı yamukta üst tabanın ucundan alt tabana bir dikme indirildiğinde, dik kenarları (b - a) ile h_s, hipotenüsü ise e olan bir dik üçgen elde edilir:
(b - a)^2 + h_s^2 = e^2
Eşitliğin her iki tarafını e^2’ye bölelim:
\left(\frac{b - a}{e}\right)^2 + \left(\frac{h_s}{e}\right)^2 = 1
\frac{h_s}{e} = 0,8 değerini yerine yazalım:
\left(\frac{b - a}{e}\right)^2 + (0,8)^2 = 1
\left(\frac{b - a}{e}\right)^2 + 0,64 = 1
\left(\frac{b - a}{e}\right)^2 = 0,36
\frac{b - a}{e} = 0,6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C seçeneğidir (0,6).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dik Yamuk: Paralel olmayan kenarlarından biri tabanlara dik olan ve aynı zamanda yamuğun yüksekliğini oluşturan dörtgendir.
- 3-4-5 Özel Üçgeni Oranları: Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin hipotenüse oranı 0,8 (\frac{4}{5}) ise, diğer dik kenarın hipotenüse oranı mutlaka 0,6 (\frac{3}{5}) olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ortak kenarın her iki yamuk için de yükseklik olduğunu varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Şekildeki diklik sembollerine dikkat ederek ortak kenarın sarı yamuk için hipotenüs (eğik kenar), pembe yamuk için ise yükseklik olduğunu tespit etmek.
Bu çözüm mantığını pekiştirmek için benzer bir dik yamuk sorusu çözmek ister misin?