Alanı 48 cm² Olan Dikdörtgenin Çevre Uzunluğunun En Az ve En Fazla Değeri
Önemli Noktalar
- Dikdörtgenin alanı 48 cm² ve kenar uzunlukları tam sayıdır.
- Alan formülü: alan = kısa kenar × uzun kenar
- Çevre formülü: çevre = 2 × (kısa kenar + uzun kenar)
- 48 sayısının tam bölenleri bulunarak kenar uzunlukları belirlenir.
- Çevrenin en küçük ve en büyük değeri için farklı tam sayı kombinasayonları incelenir.
Alanı 48 cm² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları tam sayı olduğunda, kenarların çarpımı 48 olan tam sayı çiftleri bulunur. Bu kenarlar kullanılarak, çevre uzunluğu hesaplanır ve en küçük ile en büyük çevre bulunabilir.
İçindekiler
- 48’in Tam Bölenleri ve Dikdörtgen Kenarları
- Çevre Formülünün Uygulanması
- Çevrenin En Az ve En Fazla Değerleri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
48’in Tam Bölenleri ve Dikdörtgen Kenarları
48 sayısının pozitif tam bölen çiftleri kenar uzunlukları olarak alınabilir:
- (1, 48)
- (2, 24)
- (3, 16)
- (4, 12)
- (6, 8)
Çünkü kısa kenar × uzun kenar = 48 olacak, kenarların her biri tam sayı olmalı.
Pro Tip: Bölüm çiftleri ters çevrilirse çevre aynı kalır, dolayısıyla (48,1) ve (1,48) aynı şeydir.
Çevre Formülünün Uygulanması
Çevre formülü:
Her kenar çifti için çevre hesaplanır:
| Kısa Kenar | Uzun Kenar | Çevre (cm) |
|---|---|---|
| 1 | 48 | 2 × (1+48) = 98 |
| 2 | 24 | 2 × (2+24) = 52 |
| 3 | 16 | 2 × (3+16) = 38 |
| 4 | 12 | 2 × (4+12) = 32 |
| 6 | 8 | 2 × (6+8) = 28 |
Çevrenin En Az ve En Fazla Değerleri
- En az çevre: 28 cm (kenar uzunlukları 6 ve 8 cm)
- En fazla çevre: 98 cm (kenar uzunlukları 1 ve 48 cm)
Bu sonuçlar, alanı sabitken dikdörtgenin çevresinin, kenarların birbirine yakın olduğu (kareye yakın) durumda en az; kenarlar arası fark çok olduğunda en fazla olduğunu gösterir. Bu temel geometrik prensip çözüme rehberlik eder.
Uyarı: Kenarların tam sayı olması zorunluluğu nedeniyle sadece yukarıdaki tam çarpanlar geçerlidir.
Özet Tablo
| Sorun İfadesi | Yanıt |
|---|---|
| Alan (cm²) | 48 |
| Kenarların Tam Sayı Olması | Evet |
| En Küçük Çevre (cm) | 28 |
| En Büyük Çevre (cm) | 98 |
Sık Sorulan Sorular
1. Kenar uzunluklarının sadece pozitif tam sayı olması neden önemli?
Soru, kenarların tam sayı olmasını şart koşuyor, bu nedenle başka değerler (örneğin kesirli) kabul edilmez.
2. Alan sabitken neden çevre kenarlara bağlı olarak değişir?
Alan sabit kalırken çevre, kenarların birbirine yakınlığına bağlı olarak değişir: Kenarlar birbirine ne kadar yakınsa çevre o kadar küçük olur.
3. Daha farklı kenar uzunlukları mümkün müdür?
Sadece 48’in pozitif tam bölen çiftleri geçerlidir; bu nedenle sadece tabloda verilen kenarlar ile çevre hesaplanır.
Sonraki Adımlar
Dikdörtgenin çevresini ve alanını içeren uygulamalara yönelik benzer problemler ister misiniz? Ya da farklı şekiller için benzer analizler yapalım mı?
**Alanı 48 cm² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları cm cinsinden tam sayı olduğuna göre:
a) Çevre uzunluğu en az kaç santimetredir?
b) Çevre uzunluğu en fazla kaç santimetredir?**
Önemli Noktalar
- Dikdörtgenin alanı 48 cm² olarak sabittir.
- Kenar uzunlukları pozitif tam sayı koşulunu sağlamalıdır.
- Çevre formülü 2(a+b) şeklindedir; burada a,b kenarlar.
En küçük çevre 28 cm, en büyük çevre 98 cm’dir.
İçindekiler
Çözüm
Dikdörtgenin kenarlarını a ve b olarak alalım.
Alan şartı:
Çevre:
Alanı 48 veren pozitif tam sayı çarpan çiftleri ve çevreleri şöyle:
- (1,48)\implies P=2(1+48)=98
- (2,24)\implies P=2(2+24)=52
- (3,16)\implies P=2(3+16)=38
- (4,12)\implies P=2(4+12)=32
- (6,8)\implies P=2(6+8)=28
Bunlar arasında en küçük çevre 28 cm, en büyük çevre 98 cm’dir.
Özet Tablosu
| Kenarlar (cm) | Alan (cm²) | Çevre (cm) |
|---|---|---|
| 6 ve 8 | 48 | 28 |
| 1 ve 48 | 48 | 98 |
SSS
S1. Alanı sabit dikdörtgenin en küçük çevresi neden kenarlar arası farkı en aza indiren çiftle elde edilir?
C. Çünkü 2(a+b) sabit alan için $a+b$’yi küçültmek, farkı en az yapan komşu çarpan çiftini seçmekle sağlanır.
S2. Alanı A olan bir dikdörtgenin en küçük çevresi nasıl bulunur?
C. ab=A şartını sağlayan tam sayı çarpanları listeleyip $2(a+b)$’yi minimize ederek.
S3. Kenarlar reel sayı olsaydı en küçük çevre hangi durumda olurdu?
C. Kare durumunda, a=b=\sqrt{A} iken çevre 4\sqrt{A} ile minimuma iner.
S4. Çevrenin maksimumu neden (1,A) çiftinden elde edilir?
C. Bir sayıyla 1’in toplamı diğer tüm tam çarpan çiftlerinden büyüktür; bu da $2(1+A)$’yi maksimize eder.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer üç soru ister misiniz?