Alanı \( (2x^2-18)\ \text{cm}^2 \) ve kısa kenarı \( (x-3)\ \text{cm} \) olan dikdörtgenin çevresi 48 cm’dir. Buna göre bu dikdörtgenin uzun kenarı kaç santimetredir?

YKS TYT
1

20260416_180853
20260416_180853720×960 46.2 KB

2

11. Soru Çözümü: Dikdörtgenin Uzun Kenarını Bulma

:light_bulb: Kullanılan Formüller:

  • Alan = Kısa Kenar × Uzun Kenar
  • Çevre = 2 × (Kısa Kenar + Uzun Kenar)

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Verilenleri Yazalım

  • Alan: (2x^2 - 18) \, cm^2
  • Kısa kenar: (x - 3) \, cm
  • Çevre: 48 \, cm

Adım 2 — Alan Formülünü Kurma
Alan = Kısa Kenar × Uzun Kenar olduğuna göre, uzun kenar:

Uzun \, Kenar = \frac{Alan}{Kısa \, Kenar} = \frac{2x^2 - 18}{x-3}

Adım 3 — Uzun Kenarı Sadeleştirelim
Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x - 3)(x + 3)

Böylece:

Uzun \, Kenar = \frac{2(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = 2(x + 3)

(x - 3 \neq 0 olduğu için sadeleşme yapılabilir.)

Adım 4 — Çevre Denklemi Kurma
Çevre = 2 × (Kısa Kenar + Uzun Kenar) = 48 olduğuna göre:

2 \times ((x-3) + 2(x+3)) = 48

İç parantezi açalım:

(x - 3) + 2(x + 3) = x - 3 + 2x + 6 = 3x + 3

Denklik:

2 \times (3x + 3) = 48 \implies 6x + 6 = 48

Adım 5 — x Değerini Bulma

6x + 6 = 48 \implies 6x = 42 \implies x = 7

Adım 6 — Uzun Kenarı Hesaplama
Uzun Kenar:

2(x + 3) = 2(7 + 3) = 2 \times 10 = 20 \, cm

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: C) 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Çevre Formülü: Dikdörtgen çevresi, kısa ve uzun kenarların toplamının 2 katıdır.
  • Çarpanlara Ayırma: Polinom ifadeler çarpanlarına ayrılarak sadeleştirme yapılabilir.
  • Denklem Çözme: Çevre denklemi kurularak bilinmeyen x değeri hesaplanır.

:warning: Yapılan Yaygın Hatalar:

:cross_mark: Sadeleştirme Yapmamak

  • Yanlış: \frac{2x^2 - 18}{x-3} ifadesini doğrudan kullanmak
  • Doğru: Payı çarpanlarına ayırıp sadeleştirmek gerekir.

:cross_mark: Çevre Formülünü Yanlış Uygulamak

  • Yanlış: Çevreyi sadece kısa veya uzun kenarla hesaplamak
  • Doğru: Çevre 2 \times (kısa + uzun) şeklindedir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konu ile ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Alanı (2x^2-18)\ \text{cm}^2 ve kısa kenarı (x-3)\ \text{cm} olan dikdörtgenin çevresi 48 cm’dir. Buna göre bu dikdörtgenin uzun kenarı kaç santimetredir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Alan: \text{Alan} = \text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar}
  • Çevre: 2(\text{kısa kenar}+\text{uzun kenar})=48 \Rightarrow \text{kısa kenar}+\text{uzun kenar}=24

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Uzun kenarı alandan ifade etme

Uzun kenar ifadesi kuruluyor:

\text{Uzun kenar}=\frac{2x^2-18}{x-3}
= \frac{2(x^2-9)}{x-3}
= \frac{2(x-3)(x+3)}{x-3}
= 2(x+3)
= 2x+6

Adım 2 — Çevre koşulunu kullanma

Çevre bilgisine göre:

(x-3)+(2x+6)=24
x-3+2x+6=24
3x+3=24
3x=21
x=7

Adım 3 — Uzun kenarı sayısal olarak hesaplama

Uzun kenar formülü:

\text{Uzun kenar}=2x+6
\text{Uzun kenar}=2\cdot 7+6
=14+6
=20\ \text{cm}

:white_check_mark: CEVAP: 20 cm

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Alan
  • Tanım: Bir yüzeyin kapladığı bölgenin ölçüsü.
  • Bu problemde: Alan, kısa ve uzun kenarın çarpımıdır; buradan uzun kenarı ifade ettik.
  1. Çevre
  • Tanım: Şeklin dış sınırının toplam uzunluğu.
  • Bu problemde: Çevre bilgisi kısa+uzun kenar toplamını verdi ve bilinmeyeni çözdük.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Faktörleme unutmak

  • Yanlış: 2x^2-18 ifadesini doğrudan bölmeye çalışmak.
  • Doğru: 2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3) şeklinde faktörlenir.
  • Neden yanlış: Faktörleme yapılmazsa sadeleştirme yapılamaz.
  • Düzeltme: Önce ortak çarpanı ve kare farkını kullanarak faktörleyin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?