Görseldeki Matematik Problemlerine Çözüm
Soru 10
Verilen problem: Eş karelerden oluşan zeminde mavi renkli bölgenin çevre uzunluğu 120 cm olduğuna göre sarı renkli bölgenin alanı kaç santimetrekaredir?
Çözüm:
-
Çevre uzunluğu bilgisi:
Çevresi 120 cm olan mavi bölgenin kenar uzunlukları eşittir, yani bu bir kare. Karede tüm kenarlar eşit olduğu için kenar uzunluğu:120 \, \text{cm} \div 4 = 30 \, \text{cm}. -
Alan hesabı:
Bir karenin alanı kenar uzunluğunun karesidir:\text{Alan} = \text{kenar uzunluğu}^2 = 30^2 = 900 \, \text{cm}^2. -
Sarı bölgenin alanı:
Eğer mavi bölge merkezde ve tamamında sarı kareler açıkça hesaba eklenmişse, bu bilgiyi genişletip tam çözümü yapabiliriz. Daha ayrıntılı çözüm için görseldir.
Soru 12
Verilen problem: ABCD ve EFGH paralelkenarları verilmiş. İstenilen kırmızı renkli bölgenin alanı nedir?
Çözüm:
Paralelkenar alan formülü:
Verilen bilgiler:
- AD = 30 \, \text{cm} (ABCD’nin tabanı).
- Yükseklik: 8 \, \text{cm}.
- EF = 12 \, \text{cm} (EFGH’nin tabanı), GH yüksekliği: 6 \, \text{cm}.
İki paralelkenarın alanı hesaplanınca mavi kısmı çıkartarak kırmızı kısmı bulma işlemi:
Birini var sonuç kitaptan 5!
Soru 13: Tartışma için en kısa sürede dönüş yapmak üzere!
10. Soru: Eş karelerden oluşan zeminde mavi bölgenin çevresi 120 cm ise, sarı bölgenin alanı kaç cm²’dir?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
1) Eş Karelerin Bir Kenar Uzunluğunu Bulmak
- Mavi bölge birbirinin içine yerleştirilmiş iki kareden oluşuyor.
- Çevresi 120 cm olan karedir.
- Bir karenin çevresi: Ç = 4a
- 4a = 120 \implies a = 30 (Bir büyük karenin bir kenarı 30 cm)
2) İçteki (Mavi) ve Dıştaki (Sarı) Karesel Alanlar
İçteki mavi karenin karesi de eş kare olduğundan kenarı da a’dır, fakat kaç kare olduğu belli değil, şekle göre iki kare gibi yerleştirilmiş.
Ama soru “eş karelerden oluşan zeminde” diyor ve mavi kısmın çevresi 120 ise, bu kısmın bir kenarı 30 cm.
3) Sarı Alanı Hesaplamak
Sarı alan,
- Dıştaki büyük karenin alanı eksi içteki (mavi) karenin alanıdır.
- Büyük karenin alanı: A_{büyük} = 30^2 = 900 cm²
İçteki karenin çevresi de 120 cm verilmiş. Ama mavi bölgenin dış sınırı, bu da yine bir kare, kenarı 30 cm, yani içi dışı aynı.
Bu durumda sarı kısım sadece kenarların arasındaki “çerçeve” alan oluyor. Ama görselde mavi kare küçük, sapsarı büyük kare. O zaman mavi olan karenin çevresini 120 cm alıyoruz.
- Mavi karenin bir kenarı: a = 30 cm
- Mavi karenin alanı: A_{mavi} = 30^2 = 900 cm²
Şimdi iki karenin görselde üs üste geldiğini varsayıp, büyük karenin bir kenarı A diyelim.
Ama doğru cevap için eş kareler sözü önemli: zeminde hem mavi hem sarı aynı boyda karelerden oluşuyor. Sarı kare mavi karenin etrafında kalan alan.
Eğer bir büyük ve bir küçük kare var; çevresi 120 cm olan küçük kare mavi, büyük kare (zemin) ise sarı. Sarının alanı, büyük karenin alanı eksi mavi (küçük) karenin alanı.
Veya sıklıkla çıkan soru tipi:
- Büyük karenin çevresi = P_b = 4A
- Küçük karenin çevresi = P_k = 4a = 120, a = 30
Ekranın tamamı büyük kare, ortadaki mavi kare ise kenarları küçük (ve çevresi 120)
Çoğu zaman:
- Büyük karenin bir kenarı = A
- Sarı bölge = A^2 - a^2
Şıklara bakarsak: 3825, 4050, 4175, 4300
Bunlar 1000’in katlarından fazla, küçük karenin alanı 900 cm², demek ki büyük karenin kenarı çok daha büyük.
4) Birden Çok Kare?
Görselden iki kenar uzunluğu veya bir oran verilmemiş. Sadece çevreleri verilmiş. Sorunun tipik çözümünde
- Mavi kare zemine paralel, sarı kare onun etrafında daha büyük bir kare (zemin) oluşturuyor.
Ama veri eksikliği var gibi. Yine de klasik karşılığı:
- İçteki mavi karenin çevresi 120.
- Büyük karenin (sarı alanın da içinde olduğu) kenarı b, küçük karenin kenarı a=30.
- Büyük karenin alanı b^2, küçük karenin alanı a^2=900.
- Sarı alan: b^2 - 900
Ama b için bir bilgi yok. Fakat şıklardan da, büyük karenin çevresinin n katı büyüklüğünde olmalı.
Sonuç:
Verilen bilgilerle çözüm bu noktada duruyor.
Eğer sorunun orijinal görseli veya mavi/sarı karelerin sayısı verilirse tam cevap verilebilir.
12. Soru: Paralelkenarda kırmızı bölgenin alanı kaç cm²?
Verilenler:
- \overline{AD} = 30 cm
- \overline{BF} = 8 cm
- \overline{GC} = 12 cm
- \overline{EK} = 6 cm
- \overline{DH} = 10 cm
Çözüm:
- Kırmızı alan, dıştaki ABCD paralelkenarının alanından içteki EFGH paralelkenarının alanı çıkarılacak.
- Dış paralelkenarın tabanı AD=30 cm, yüksekliği BF=8 cm.
- Alan: A_{\text{ABCD}} = taban \cdot yükseklik = 30 \cdot 8 = 240~cm^2
- İçteki paralelkenarın tabanı EK=6 cm, yüksekliği DH=10 cm.
- Alan: A_{\text{EFGH}} = 12 \cdot 10 = 120~cm^2 (GC=12)
- Kırmızı alan: 240 - 120 = \boxed{120} cm²
Ancak şıklarda bu yok, belki hata var. Yine de yöntem aynıdır.
13. Soru: Dikdörtgenden kesilen parçalar sonrası kalan alan nedir?
Verilenler:
- Dikdörtgenin kenarları: 30 cm ve 40 cm
- Dört köşeden üçgen parçalar kesiliyor.
- Kesilen üçgenlerin kenarları: 10, 10, 20, 8 cm gibi. Ancak dört köşe net belirtilmiş.
Çözüm Yöntemi:
- Dikdörtgenin alanı:
A_{\text{dikd}} = 40 \cdot 30 = 1200~cm^2 - Kesilen üçgenler dört köşeden. Alanları tek tek bulunur ve çıkarılır.
- Her üçgen için alan:
- A_{\triangle} = \frac{a \cdot h}{2}
Örneğin:
- Solda üstteki: A = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50
- Sağda üstteki: A = \frac{20 \cdot 8}{2} = 80
- Altta: A = \frac{8 \cdot 10}{2} = 40
- Altta: A = \frac{10 \cdot 30}{2} = 150 gibi.
Her üçgenin alanını topla ve 1200’den çıkar.
Eğer belirli bir sorunun çözümünü istiyorsan, lütfen numarasını belirt! Matematikte adım adım çözüm için yardımcı olabilirim 
@Basem_aldulame
Alan Problemleri Yardım
Answer:
Merhaba! Paylaştığınız görsellerden anlaşıldığı kadarıyla paralelkenarlar, dik üçgenler ve kartondan kesilen parçalar gibi farklı geometrik şekillerin alanlarını bulma üzerine sorular var. Ancak her bir soruda net bir çözüm yapabilmek için, şekillerin tam boyutları ve hangi kenarların birbirine eşit/kesiştiği vb. gibi ayrıntılı bilgileri bilmek gerekir. Elinizdeki sayfa fotoğrafları ayrıntılı olsa da, maalesef görsellerdeki ölçüler veya konumlar metin üzerinden tam okunamadığından hızla “kesin sonuç” bulmak güç. Yine de, tipik olarak bu tarz soru türlerine nasıl yaklaşılabileceğini maddeler hâlinde özetleyelim:
1) Paralelkenarlarda Alan Problemi (Soru #12’ye benzer)
-
Paralelkenarın Alan Formülü:
Bir paralelkenarın alanı, taban uzunluğu (b) ile yükseklik (h) çarpımına eşittir:\text{Alan} = b \times h- Burada yükseklik, tabana dik olan uzaklıktır.
- Eğer “AD = 30 cm, BF = 8 cm” gibi veriler verilmişse, bunların hangisinin taban, hangisinin yüksekliğe karşılık geldiğini veya diğer kenarlarla ilişkisini yorumlamak gerekir.
-
İki Paralelkenarın Birbirine Bağlı Olduğu Durumlar:
- Şekilde iki ayrı paralelkenar (örneğin ABCD ve EFGH) iç içe ya da üst üste verildiyse, ortak kenarlar veya parçalara bölünmüş kenarlar bazen “parçalarının toplamı” şeklinde ipucu verir.
- Kırmızı veya mavi renkli bölge, büyük paralelkenarın alanından küçük paralelkenarın alanını çıkararak bulunabilir.
-
Yüksekliklerin Paylaşılması:
- Bazen, bir paralelkenarın yüksekliği diğerinin tabanı ile ortak olur veya ölçüler şekilde kısa kenar, uzun kenar, fazladan çizgileri içerir. Tam boyutları yerleştirmek için sorudaki tüm ipuçlarına bakınız.
2) Kare/Dikdörtgen Zemin Üzerinde Renkli Bölgeler (Soru 10 veya #13’e benzer)
-
Eş Karelendirmelerin Kullanılması:
- Eğer zemin komple eş karelerden oluşuyorsa ve mavi bölgenin çevresi 120 cm ise, bu “mavi bölgeyi oluşturan karelerin sayısı” ve “her bir karenin kenar uzunluğu” hakkında bilgi verebilir.
- Örneğin, mavi bölge 12 karedense ve çevresi toplam 120 cm ise, her küçük karenin bir kenarı 10 cm olabilir. Ancak tam olarak şekli görmeden netleştirmek zordur.
-
Büyük Alandan Küçük Alanı Çıkarma Tekniği:
- Soruda sarı veya başka renkli bir bölge isteniyorsa, genellikle “büyük dikdörtgen/kare alan – (mavi kısmın alanı ya da kesilen şekillerin alanı)” mantığı kullanılır.
- Elde ettiğiniz değer soruda istenen bölgenin alanı olabilir.
-
Kesişim ve Parça Parça Toplama:
- Bazen renkli bölgeler bir dikdörtgenden kesilmiş üçgenler veya dikdörtgenler olabilir. Her bir küçük şeklin alanını bulup toplayarak/çıkararak sonuca gidebilirsiniz.
3) Üçgenlerin Alanı (Soru #11 veya #13 içinde üçgen varsa)
-
Dik Üçgenler:
- Dik üçgenin alanı:\text{Alan} = \frac{1}{2} (\text{taban}) \times (\text{yükseklik})
- İkizkenar dik üçgende taban uzunluğu ve yükseklik aynı kenar da olabilir.
- Dik üçgenin alanı:
-
Özel Üçgenler Arasındaki İlişkiler:
- Sınav sorularında sıkça, iki üçgenin alanı birbiriyle ilişkilendirilir. Örneğin, “KLM ve LMN üçgenleri ortak tabana veya yüksekliğe sahipse, alanlar arasındaki oranları” kullanabilirsiniz.
- Eğer “AKMN = 40 cm²” gibi bir dörtgenin alanı verilmiş, yanında bir üçgensel bölge soruluyorsa (örneğin mavi renkli bölge), çoğunlukla benzerlik, ortak kenar ya da aynı yükseklik prensibiyle ayrılan kısımların oranından yola çıkılır.
4) Kesilip Çıkarılan Karton Parçaları (Soru #13’e benzer)
-
Başlangıçta Dikdörtgen Karton Alanı:
- Eğer başlangıçta 40 cm × 30 cm boyutunda bir dikdörtgen var ve dört köşeden üçgen şeklinde parçalar kesiliyorsa, önce kartonun tüm alanını (40 × 30 = 1200 cm²) bulursunuz.
-
Kesilen Üçgenlerin Alanı:
- Her bir köşeden kesilen üçgenin taban ve yüksekliği sorudan anlaşılmalıdır.
- “10 cm” veya “8 cm” gibi belirtilen kenarların her biri üçgenin tabanı ya da hipotenüsü olabilir. Ama dik kesim varsa taban ve yüksekliği net belirleyip alanı \tfrac{1}{2}bh formülüyle bulursunuz.
-
Kalan Alanın Hesabı:
- Kalan parça = Dikdörtgenin toplam alanı – (kesilen üçgenlerin toplam alanı).
- Bazı sorularda, kesimler sonrası ortada yeni bir çokgen elde edilerek o yüzün alanı istenir.
Özet ve Öneri
Bu tip alan problemlerinde temel yaklaşım şudur:
- Tüm mümkün şekilleri kare, dikdörtgen, üçgen gibi bilinen basit alan formülleriyle ifade edin.
- Elinizdeki verilere göre (taban, yükseklik, parallelogram yüksekliği vb.) hangi bilgiyi neyle eşleştireceğinize karar verin.
- Gerekiyorsa, paylaşılan renksiz kısımları da alan ilişkileri (çıkarma veya toplama) yoluyla yorumlayın.
Elinizdeki kitap sayfasındaki soruları çözerken, her birinin altında genelde “Çözüm” kutusu için boş alan bırakılır. Oralara adım adım:
- Verilen ölçüleri not edin (örn. AD = 30 cm, BF = 8 cm, vb.).
- Hangi şeklin hangi boyutlara sahip olduğunu çıkarsayın.
- Uygun formülü (paralelkenar, dik üçgen, kare, vb.) yazıp sonuçta elde edeceğiniz değeri işaretleyin.
Ne yazık ki fotoğraftaki şekilleri tam ölçüleriyle göremediğimiz için kesin sayıları veremiyoruz. Yine de yukarıdaki stratejileri izlerseniz, şekilleri adım adım parçalayarak doğru çözümlere ulaşabilirsiniz. Takıldığınız spesifik bir alan hesaplaması olursa, lütfen exact (tam) ölçü ve kenar bağlantılarını mesajınızda belirtin; adım adım çözüme yardımcı olmaya çalışalım.
Görüntüde 10, 11, 12 ve 13 numaralı dört ayrı “alan problemi” var. Her birinin çözümü birbirinden tamamen farklıdır, bu yüzden önce hangi soruyla başlamak istediğinizi belirtir misiniz?
- (10) İzgarada çizili mavi bölgenin çevresinden yola çıkarak sarı bölgenin alanını bulma
- (11) İkizkenar dik üçgende verilenlere göre mavi bölgenin alanını hesaplama
- (12) İç içe iki paralelkenar arasındaki kırmızı bölge alanı
- (13) Köşelerden dört dik üçgen atıldıktan sonra kalan karton parçasının yüzey alanı
Lütfen hangi soruyu önce detaylı adım adım çözmemizi istediğinizi söyleyin.