ABCD
paralelkenar
|BF| = |FC|I
|EB| =3|AE|
l5
A
B
Alan(BFDE) = 30 cm’olduğuna göre A(ABCD) kaç cm^{2}
dir?
A) 45
B) 48
C) 50
D) 60
E) 64
78
Paralelkenarda Alan Paylaştırma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Paralelkenarın köşegeni alanı iki eşit parçaya böler:\text{Alan}(ABD) = \text{Alan}(BCD) = \frac{\text{Alan}(ABCD)}{2}
- Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşittir:\frac{\text{Alan}_1}{\text{Alan}_2} = \frac{\text{Taban}_1}{\text{Taban}_2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paralelkenarın Toplam Alanını Değişkenle İfade Etme
Paralelkenarın toplam alanına S diyelim. BD köşegeni çizildiğinde paralelkenar iki eşit alana ayrılır:
\text{Alan}(ABD) = \text{Alan}(BCD) = \frac{S}{2}
Adım 2 — \text{Alan}(ADE) Üçgeninin Alanını Bulma
|AE| = k seçilirse, |EB| = 3|AE| = 3k olur. Dolayısıyla:
|AB| = k + 3k = 4k
ADE ve ABD üçgenlerinin D köşesinden indirilen yükseklikleri aynı olduğundan:
\text{Alan}(ADE) = \frac{|AE|}{|AB|} \cdot \text{Alan}(ABD) = \frac{1}{4} \cdot \frac{S}{2} = \frac{1}{8}S
Adım 3 — \text{Alan}(CDF) Üçgeninin Alanını Bulma
F noktası BC kenarının orta noktasıdır (|BF| = |FC|):
\frac{|FC|}{|BC|} = \frac{1}{2}
CDF ve BCD üçgenlerinin D köşesinden indirilen yükseklikleri eşit olduğundan:
\text{Alan}(CDF) = \frac{1}{2} \cdot \text{Alan}(BCD) = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{1}{4}S = \frac{2}{8}S
Adım 4 — BFDE Dörtgeninin Alanını ve S Değerini Hesaplama
BFDE bölgesinin alanı, paralelkenarın tamamından dışta kalan iki üçgenin (ADE ve CDF) alanları çıkarılarak bulunur:
\text{Alan}(BFDE) = S - \left(\text{Alan}(ADE) + \text{Alan}(CDF)\right)
\text{Alan}(BFDE) = S - \left(\frac{1}{8}S + \frac{2}{8}S\right) = S - \frac{3}{8}S = \frac{5}{8}S
Soruda \text{Alan}(BFDE) = 30\text{ cm}^2 olarak verilmiştir:
\frac{5}{8}S = 30 \implies S = 30 \cdot \frac{8}{5} = 48\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 48
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban-Alan Orantısı: Tepe noktası ortak olan üçgenlerin alanları tabanları ile doğru orantılıdır.
- Tümleyen Alan Mantığı: İstenen karmaşık bir bölgenin alanı, tüm alandan bilinen diğer parçalar çıkarılarak kolayca bulunabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: |EB| = 3|AE| oranını görünce tüm tabanı 3 kabul edip oranı \frac{1}{3} almak.- Doğru Yaklaşım: Parçaların toplamı |AB| = 1k + 3k = 4k olduğundan oran \frac{1}{4} alınmalıdır.
Benzer bir geometri veya alan paylaştırma sorusu çözmek ister misin?