Akışkanlarm.ödevi

Muhammed_Burak_TÜRKY · Mayıs 8, 2025, 11:59öö

Ders_Asistani · Mayıs 8, 2025, 11:59öö

Akışkanlar Mekaniği Ödevi Çözümü

Soruyu Parçalara Ayırma ve Çözüm Yöntemleri:
Soru, Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi veya Buckingham Pi Teoremi kullanılarak parametrelerin boyutsuz hale getirilmesini ve ardından verilen verilerle Excel’de hesaplamalar yapılarak bir tablo ve grafik oluşturulmasını istiyor. Aşağıdaki adımlarla problemi çözeceğiz:

A) Boyutsuz Parametre Kümesi Belirleme:

Buckingham Pi teoremi, bir fiziksel problemin boyutsal analizi ile parametreleri boyutsuz hale getirmek için kullanılır. Soruda yer alan parametreler:

D: pompa çark çapı (m)
\rho: sıvı yoğunluğu (\mathrm{kg/m^3})
Q: akış debisi (\mathrm{m^3/s})
w: dönme hızı (\mathrm{devir/saniye})
\Delta P: pompa boyunca basınç artışı (\mathrm{Pa})

1. Temel Boyutlar:

Parametrelerin temel boyutları şu şekildedir:

D → [L] (uzunluk)
\rho → [M][L^{-3}] (kütle yoğunluk)
Q → [L^3][T^{-1}] (hacim/saniye)
w → [T^{-1}] (zamanın tersiyonu)
\Delta P → [M][L^{-1}][T^{-2}] (basınç)

2. Boyutsuz İfade Bulma:

Buckingham Pi Teoremi’ne göre, boyutsuz kombinasyonlar aşağıdaki gibi bulunabilir:
Boyutsuz gruplar \Pi işlemleri ile yazılır:

\Pi_i = \frac{\text{parametreler}}{\text{temel değişken kombinasyonları}}

Pompa için önemli boyutsuz gruplar:

Reynolds Sayısı (Re): \frac{\rho w D}{\mu}
Akış debisi boyutsuz: \frac{Q}{w D^3}
Basınç boyutsuz: \frac{\Delta P}{\rho w^2 D^2}

B) Hesaplamalar ve Verilen Veriler ile Excel Tablosu:

Gelen veriyi kullanarak boyutsuz parametrelerin hesaplamalarını yapalım.

1. Veriler:

D = 0.1 \, \mathrm{m}
\rho = 900 \, \mathrm{Ns/m^4}
w = 50 \, \mathrm{devir/saniye}
Q = 0.1 - 1 \, \mathrm{m^3/s} (aralık)

2. Boyutsuz Parametreleri Hesaplayın:

Bu veriler Excel’e aktarılabilir. Hesaplama için:

Akış debisi boyutsuz parametresi:
Q_{\text{boyutsuz}} = \frac{Q}{wD^3}
Basınç boyutsuz parametresi:
\Delta P_{\text{boyutsuz}} = \frac{\Delta P}{\rho w^2 D^2}

Çıkan sonuçlar \Phi = 1 sabit oran alınarak tablo ve grafik oluşturulabilir.

Excel Grafiği Çizimi:

Excel Tablosu Düzeni:
- Q: Akış debisi (0.1 - 1 \mathrm{m^3/s} aralığında değerler)
- Boyutsuz Basınç (\Delta P_{\text{boyutsuz}})
- Boyutsuz Akış Debisi (Q_{\text{boyutsuz}})
Grafik Tipi:
- X Ekseni: \Delta P_{\text{boyutsuz}}
- Y Ekseni: Q_{\text{boyutsuz}}
- Çizgi grafiği (line chart) kullanılarak sonuçlar gösterilir.

Sonuçlar için detaylı Excel formülleri ve adımları ile çözüm oluşturulacaktır. Eğer daha fazla bilgi isterseniz, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım!

@Muhammed_Burak_TÜRKY

Muhammed_Burak_TÜRKY · Mayıs 8, 2025, 12:00ös

formülleri okunaklı bir biçimde yazarmısın ayrıntılı ve adım adım

Sorumatik_Ogretmen · Mayıs 8, 2025, 12:02ös

Bir Pompa Boyunca Basınç Artışı (ΔP) ve Boyutsuz Parametrelerin Belirlenmesi

Soru:
Bir pompa boyunca basınç artışı, ΔP = f(D, ρ, Q, w) şeklindedir. Burada:

D: pompa çark çapı,
ρ: sıvı yoğunluğu,
w: dönme hızı,
Q: akış debisi (h hacimsel akış hızı).

Uygun bir boyutsuz parametre kümesi belirleyiniz (Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi veya Buckingham Pi Teoremi). Ayrıca, D = 0,1 m, akışkan yoğunluğu 900 Ns²/m⁴, dönme hızı w = 50 devir/saniye ve Q = 0,1 m³/s – 1 m³/s (0,1’er adımla) değerleri için her bir Q basamağında ΔP değerini hesaplayınız. Excel ile tablo ve grafik oluşturunuz. Denklem sonucunda ortaya çıkan Φ (sabit oran) değerini 1 olarak alınız.

İçindekiler

Genel Bakış
Buckingham Pi Teoremi ve Boyutsuz Gruplar
Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi Adımları
Boyutsuz Parametrelerin Formülleri
Problemin Ele Alınışı ve Verilen Değerler
Adım Adım Hesaplama
6.1 Adım 1: Boyutsuz Grup (ΔP) Tanımı
6.2 Adım 2: Boyutsuz Grup (Q) Tanımı
6.3 Adım 3: Φ = 1 Varsayımı ile ΔP Hesabı
6.4 Adım 4: Q Değerlerinin Değişimi ve Tablo Oluşturma
Excel Tablosu ve Grafiğin Oluşturulması
Örnek Hesap ve Örnek Tablo
Sonuçların Yorumlanması ve Özet
Kaynakça / Referanslar

1. Genel Bakış

Akışkanlar mekaniğinde pompalar, akışkana belirli bir basınç artışı (ΔP) kazandırarak akışkanın bir noktadan diğerine taşınmasını veya basıncının yükseltilmesini sağlar. Pompanın karakteristiklerini incelerken sıklıkla; çark çapı (D), akışkan yoğunluğu (ρ), akış debisi (Q) ve pompanın dönme hızı (w) gibi niceliklerin pompa üzerindeki etkisini değerlendiririz. Ancak deneysel ya da teorik analizde boyut analizi kullanarak bu değişkenler arasındaki etkileşimi daha derli toplu ve genelleştirilebilir hale getirmek çok önemlidir.

Buckingham Pi Teoremi veya Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi ile karmaşık fiziksel sistemlerdeki değişkenlerin az sayıda boyutsuz grup halinde ifade edilmesi mümkün olur. Bu problemde de ΔP = f(D, ρ, Q, w) ilişkisini basitleştirmek ve boyutsuz hale getirmek istenmektedir.

2. Buckingham Pi Teoremi ve Boyutsuz Gruplar

Buckingham Pi Teoremi’ne göre, bir sistemde toplam değişken sayısı (n) ile temel boyut sayısı (k) arasındaki fark kadar (n−k) adet bağımsız boyutsuz grup tanımlanabilir. Bu problemde:

Değişkenler (n): ΔP, D, ρ, Q, w (toplam 5 adet)
Temel boyutlar (k): Kütle (M), Uzunluk (L), Zaman (T) (toplam 3 adet)

Dolayısıyla, oluşturulacak boyutsuz grup sayısı (n−k) = 5 − 3 = 2 adettir.

Bu iki boyutsuz grup genellikle pompa ve türbin uygulamalarında sıklıkla kullanılan şu formda belirlenir:

Boyutsuz Basınç (veya Basınç Katsayısı):

\Pi_1 = \frac{\Delta P}{\rho w^2 D^2}
Boyutsuz Debi (veya Akış Katsayısı):

\Pi_2 = \frac{Q}{w D^3}

Bu iki boyutsuz sayının birbirine bağlılığı, pompa karakteristiğini yansıtan \Pi_1 = f(\Pi_2) tipi bir ilişki şeklinde ifade edilir.

3. Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi Adımları

Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi (ya da Buckingham Pi’nin uygulaması) özetle şu şekilde ilerler:

Problemin fiziksel değişkenlerini (n tane) ve bunların temel boyutlarını tanımla.
Temel boyut sayısını (k) belirle (M, L, T).
n − k kadar boyutsuz grup oluştur.
Her boyutsuz grup en az bir “tekrarlayan değişken” içermelidir. Genellikle sistemde karakteristik uzunluk (D), yoğunluk (ρ), hız (w) veya viskoz durumlarda viskozite (μ) gibi büyüklükler tekrarlayan değişken olarak seçilir.
İlgili tüm değişkenleri kullanarak bu boyutsuz grupları türet.

Bu problemde tekrarlayan değişkenleri D, ρ ve w alabiliriz. Ardından ΔP ve Q’yu kullanarak boyutsuz ifadeler oluştururuz.

4. Boyutsuz Parametrelerin Formülleri

Yukarıda öngörülen iki boyutsuz parametre pratikte pompa teorisinde sıklıkla karşımıza çıkar:

Basınç Katsayısı (π₁) veya \Pi_1

\Pi_1 = \frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2}

Bu ifade, pompada elde edilen basınç artışının (ΔP), sistemin karakteristik “atalet kuvveti” ölçeği olan \rho\,w^2\,D^2 cinsinden oranlanmasıyla oluşan boyutsuz büyüklüktür.
Debi Katsayısı (π₂) veya \Pi_2

\Pi_2 = \frac{Q}{w\,D^3}

Hacimsel akış debisinin (Q), dönme hızı (w) ve çark çapı (D) üzerinden ölçeklenmesiyle elde edilir.

Bu iki büyüklük arasındaki ilişki:

\Pi_1 = f(\Pi_2)

şeklinde yazılır. Çoğu pompa karakteristiğinde bu fonksiyonun belirli bir formu vardır. Problemde ise “denklem sonucunda ortaya çıkacak Φ (sabit oran) değerini 1 olarak alınız” ifadesi, \Pi_1 ve \Pi_2 arasında sabit bir oranın kabul edildiğini veya \Pi_1 değerinin sabit kılındığı bir senaryoyu basitçe modelleyeceğimizi gösterir.

5. Problemin Ele Alınışı ve Verilen Değerler

Problemde:

D = 0,1 m (pompa çark çapı)
ρ = 900 Ns²/m⁴ (akışkan yoğunluğu)
- Not: 1 N = 1 kg·m/s² olduğundan ρ = 900 kg/m³ ile de kıyaslanabilir bir büyüklük gibi okunabilir.
w = 50 devir/saniye (dönme hızı)
- 1 devir/saniye = 1 s⁻¹, dolayısıyla w = 50 s⁻¹.
Q değerleri: 0,1 m³/s’den 1 m³/s’e kadar 0,1 m³/s aralıklarla (yani 0,1; 0,2; 0,3; …, 1,0 m³/s).
Denklemin sonucunda sabit oran (Φ) = 1 alındığı söylenmiştir. Burada “Φ” ifadesi çoğunlukla pompa literatüründe \Pi_1 veya benzeri bir kalıcı değere işaret edebilir.

Dolayısıyla problemi basitleştirmek için \Pi_1 = 1 varsayımı altında \Delta P değerlerini hesaplayabiliriz. Böylece:

\Pi_1 = 1 = \frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2}

buradan,

\Delta P = \rho \, w^2 \, D^2

elde edilir. Oysa normalde \Pi_1 akış katsayısı \Pi_2 ile bir fonksiyonel bağıntıya sahiptir. Fakat problemde “(sabit oran) değerini 1 olarak alınız” ifadesine dayanarak \Pi_1 = 1 senaryosunu kullanacağız.

6. Adım Adım Hesaplama

6.1 Adım 1: Boyutsuz Grup (ΔP) Tanımı

Buckingham Pi Teoremi’ne göre ilk boyutsuz grup:

\Pi_1 = \frac{\Delta P}{\rho \, w^2 \, D^2}

Bu problemi basitleştiren koşul, \Pi_1 değerinin 1 alınmasıdır. Dolayısıyla:

\Pi_1 = 1 \implies \Delta P = \rho\, w^2\, D^2

6.2 Adım 2: Boyutsuz Grup (Q) Tanımı

İkinci boyutsuz grup:

\Pi_2 = \frac{Q}{w\,D^3}

Bu ifade farklı Q değerleri için değişir. Ancak problemde \Delta P’nin sabit alınması koşulu, \Pi_2 değişse bile \Delta P (dolayısıyla \Pi_1) değişmez anlamına gelmektedir.

6.3 Adım 3: Φ = 1 Varsayımı ile ΔP Hesabı

Verilen sabitler:

D = 0{,}1 \,\text{m}
\rho = 900 \,\text{Ns}^2/\text{m}^4
w = 50 \,\text{s}^{-1}

Hesaplama:

\Delta P = \rho \, w^2 \, D^2 = 900 \times (50)^2 \times (0,1)^2.

w^2 = (50)^2 = 2500.
D^2 = (0,1)^2 = 0,01.

Dolayısıyla:

\Delta P = 900 \times 2500 \times 0,01.

Önce 900 × 2500 = 2 250 000, daha sonra 2 250 000 × 0,01 =

2\,250\,000 \times 0,01 = 22\,500 \,\text{Pa}.

Yani:

\Delta P = 22\,500 \,\text{Pa} = 22{,}5 \,\text{kPa}.

6.4 Adım 4: Q Değerlerinin Değişimi ve Tablo Oluşturma

Soruya göre Q = 0,1 m³/s’den 1 m³/s’e kadar 0,1’lik adımlarla gideceğiz. Bu sırada \Delta P formüle göre değişmeyecektir çünkü \Pi_1 sabit 1 alındı. Ancak yine de her Q değeri için \Pi_2 değerini hesaplayabiliriz ve iki büyüklüğü karşılaştırmalı bir tabloda gösterebiliriz.

\Pi_2 = \dfrac{Q}{w\,D^3}
- D^3 = (0,1)^3 = 0,001.
- w\,D^3 = 50 \times 0,001 = 0,05.
- \Pi_2 = \dfrac{Q}{0,05} = 20 \, Q.

Bu durumda, Q = 0,1 m³/s => \Pi_2 = 20 \times 0,1 = 2 vb. şekilde ilerlenir.

Aşağıda Q ve \Pi_2 değerleri ile sabit \Delta P değerini bir tabloda özetleyeceğiz.

7. Excel Tablosu ve Grafiğin Oluşturulması

Soruda istenen “Excel tablo halinde gösterim ve grafik çizimi” şu şekilde yapılabilir:

Q sütunu: 0,1’den 1,0’a artışla (0,1’er adımlarla) giden nümerik değerler (toplam 10 değer).
\Pi_2 sütunu: Yukarıdaki formül \Pi_2 = Q / (w D^3) ile hesaplanır.
\Delta P sütunu: Hesapladığımız 22 500 Pa değeri, her Q için aynı kalacaktır.
Grafik:
- x-ekseni: Q (m³/s)
- y-ekseni: \Delta P ¶
- Burada y-ekseni sabit bir değer göstereceğinden grafik yatay bir çizgi olacaktır.

Ayrıca, istenirse x-ekseni \Pi_2 ve y-ekseni \Pi_1 olarak da ayrı bir grafik çizilebilir. Burada \Pi_1 = 1 sabit, x-ekseni \Pi_2 = 20Q (0,1 ≤ Q ≤ 1), y-ekseni = 1. Yine yatay bir doğru elde edilecektir.

8. Örnek Hesap ve Örnek Tablo

Aşağıdaki tablo, Q değerlerini 0,1 - 1,0 aralığında 0,1 m³/s adımlarla alır. Her satırda \Pi_2 ve \Delta P (22 500 Pa) listelenmiştir. “Flow Coefficient (\Pi_2)” boyutsuz olup “Basınç Artışı \Delta P” birimi Pa’dır.

Q (m³/s)	w (s⁻¹)	D (m)	D³ (m³)	w·D³ = 50×0,001	Π₂ = Q/(wD³)	ΔP ¶
0,1	50	0,1	0,001	0,05	0,1 / 0,05 = 2,0	22 500
0,2	50	0,1	0,001	0,05	0,2 / 0,05 = 4,0	22 500
0,3	50	0,1	0,001	0,05	0,3 / 0,05 = 6,0	22 500
0,4	50	0,1	0,001	0,05	0,4 / 0,05 = 8,0	22 500
0,5	50	0,1	0,001	0,05	0,5 / 0,05 =10,0	22 500
0,6	50	0,1	0,001	0,05	0,6 / 0,05 =12,0	22 500
0,7	50	0,1	0,001	0,05	0,7 / 0,05 =14,0	22 500
0,8	50	0,1	0,001	0,05	0,8 / 0,05 =16,0	22 500
0,9	50	0,1	0,001	0,05	0,9 / 0,05 =18,0	22 500
1,0	50	0,1	0,001	0,05	1,0 / 0,05 =20,0	22 500

Yukarıdaki tablodan görüleceği gibi:

Q arttıkça boyutsuz akış katsayısı \Pi_2 düzenli biçimde artar.
Basınç artışı ΔP, problemde \Pi_1 = 1 diktesi sonucu her satırda sabit çıkar (22 500 Pa).

Grafik Yorum

Q’ya (x ekseni) karşı ΔP (y ekseni) grafiği çizilirse, 22 500 Pa’da yatay bir çizgi elde edilir.
Eğer x ekseni \Pi_2, y ekseni \Pi_1 alınırsa da \Pi_1 = 1 düzeyinde yatay bir doğru elde edilir.

9. Sonuçların Yorumlanması ve Özet

Bu problem kapsamında:

Boyut Analizi yapılarak 2 adet boyutsuz grup (\Pi_1 ve \Pi_2) tanımlanması gerektiği gösterilmiştir.
Basınç katsayısı \Pi_1 = \Delta P / (\rho w^2 D^2) ve akış katsayısı \Pi_2 = Q/(w D^3) olarak alınmıştır.
Soru gereği, \Pi_1 = sabit 1 kabul edilmiştir. Bu, pompada oluşan basınç artışının (22,5 kPa) sabit kalacağını göstermektedir. Böyle bir varsayım gerçek uygulamada pompa karakteristiğinin belli bir çalışma eğrisi üzerinde değerlendirildiği anlamına gelebilir veya ideal/kısmi bir senaryoya işaret eder.
Excel’de Q ve \Delta P değerleri bir tabloda listelenip grafiğe döküldüğünde yatay bir basınç artışı eğrisi elde edilir. Boyutsuz akış katsayısı ise \Pi_2 = 20\, Q formülüyle artış gösterir.

Kısacası, “(sabit oran) Φ = 1” ifadesi, pompa karakteristik eğrilerinin sadece tek bir düzeyini temsil eden, basitleştirilmiş bir örnek senaryodur. Gerçekte \Pi_1 ve \Pi_2 arasında daha karmaşık fonksiyonel bağıntılar olabilir ve pompalar farklı Q değerlerinde basınç artışlarını farklı şekilde sergilerler.
Bu örnek, Buckingham Pi Teoremi ile elde edilen boyutsuz grupların nasıl kullanılabileceğini ve problemde sabit bir boyutsuz değerin (Φ=1) fiziksel büyüklüğe (ΔP) nasıl dönüştürüleceğini göstermektedir.

10. Kaynakça / Referanslar

Çengel, Y. A., & Cimbala, J. M. (2014). Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications. McGraw-Hill.
White, F. M. (2011). Fluid Mechanics. McGraw-Hill.
Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H., & Huebsch, W. W. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons.
Fox, R. W., Pritchard, P. J., & McDonald, A. T. (2010). Introduction to Fluid Mechanics. John Wiley & Sons.

Not: Bu çalışma, öğrencilerin Buckingham Pi Teoremi veya Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi ışığında pompa performans verilerini boyutsuz gruplar şeklinde ifade edip, Excel’de basit bir tablo ve grafik oluşturma pratiklerini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

@Muhammed_Burak_TÜRKY

Ders_Asistani · Mayıs 8, 2025, 12:03ös

Sorudaki Formülleri Ayrıntılı ve Adım Adım Çözme

Muhammed Burak, aşağıda verilen tüm formülleri daha ayrıntılı ve sistematik bir şekilde ele alıyoruz. Her adımda ilerleyerek soruyu netleştiriyor ve boyutsuz parametrelerin hesaplamasını kolaylaştırıyoruz.

A) Boyutsuz Parametre Kümesinin Belirlenmesi

1. Buckingham Pi Teoremi’nin Adımları

Buckingham Pi Teoremi’ni kullanarak boyutsuz parametreleri adım adım oluşturabiliriz:

Adım 1: Problemi ele alan tüm değişkenleri tanımlayın:
Verilen fiziksel parametreler şunlardır:

D: pompa çark çapı (m) → Boyutu: [L]

\rho: sıvının yoğunluğu (kg/m^3 veya Ns/m^4) → Boyutu: [M][L^{-3}]

Q: akış debisi (m^3/s) → Boyutu: [L^3][T^{-1}]

w: dönme hızı (devir/s) → Boyutu: [T^{-1}]

\Delta P: pompa boyunca basınç artışı (Pa veya N/m^2) → Boyutu: [M][L^{-1}][T^{-2}]

Adım 2: Temel boyutlar arasındaki bağlantıları kurun.
Fiziksel yasa gereği temel boyutlar şunlardır: [L] (uzunluk), [M] (kütle), [T] (zaman).

Adım 3: Boyutsuz gruplar oluşturmak için, temel değişkenleri referans değişkenlerle oranlayın ve boyutsallığı kaldırın.

2. Boyutsuz Grupları Adım Adım Yaratma

Boyutsuz gruplar iki amaçla oluşturulur: durumu fiziksel olarak basitleştirmek ve birimler arası uyumu sağlamak. Şunları elde edeceğiz:

Reynolds Sayısı (Re):
Reynolds sayısı viskoziteyi de içerir ve boyutsuz akış karakteristiği için önemlidir:

Re = \frac{\rho w D}{\mu}

Burada:
- \rho: yoğunluk (\mathrm{kg/m^3})
- w: dönme hızı (\mathrm{devir/s})
- D: çark çapı (\mathrm{m})
- \mu: dinamik viskozite (\mathrm{Ns/m^2})

Boyutsuz Akış Debisi (Q_{\text{boyutsuz}}):
Akış debisi şu şekilde boyutsuzlaştırılır:

Q_{\text{boyutsuz}} = \frac{Q}{w D^3}

Burada:
- Q: akış debisi (\mathrm{m^3/s})
- w: dönme hızı (\mathrm{devir/s})
- D^3: çark çapının küpü (\mathrm{m^3})

Boyutsuz Basınç (\Delta P_{\text{boyutsuz}}):
Basınç artışı şu şekilde boyutsuzlaştırılır:

\Delta P_{\text{boyutsuz}} = \frac{\Delta P}{\rho w^2 D^2}

Burada:
- \Delta P: pompa boyunca basınç artışı (\mathrm{Pa})
- \rho: sıvının yoğunluğu (\mathrm{kg/m^3})
- w^2: dönme hızının karesi (\mathrm{devir^2/s^2})
- D^2: çark çapının karesi (\mathrm{m^2})

B) Excel’de Hesaplama ve Tablo Oluşturma

1. Verilerin Yerine Yazılması

Verilen değerler:

D = 0.1 \, \mathrm{m}
\rho = 900 \, \mathrm{Ns/m^4}
w = 50 \, \mathrm{devir/s}
Q = 0.1 - 1 \, \mathrm{m^3/s} (aralık)

Bu değerler tablodaki her bir parametreye uygun şekilde tek tek yazılır.

2. Boyutsuz Parametreler için Formüller

Excel’de bu formülleri hesaplamak için şu adımları izleyin:

Boyutsuz Akış Debisi Formülü:
Excel hücresine aşağıdaki formül yazılabilir:
```
= Q / (w * D^3)
```
Burada Q farklı bir aralıkta (0.1’den 1.0’a kadar) düzenlenir.
Boyutsuz Basınç Formülü:
Basınç artışı (\Delta P) şöyle hesaplanabilir:
```
= DeltaP / (rho * w^2 * D^2)
```

Sonuç ve Grafik Çizimi

Tablo Düzeni:
Excel’de, X ekseni \Delta P_{\text{boyutsuz}}, Y ekseni Q_{\text{boyutsuz}} olacak şekilde bir çizgi grafiği (line chart) oluşturun.
Grafiğin Görselleştirilmesi:
Görselleştirilen grafik, boyutsuz parametrelerin birbiriyle ilişkisini gösterecektir.

Son Adımlar: Eğer daha fazla yapılması gereken varsa veya verilere dair bir şüphe oluşursa lütfen bana belirt! Her detayda yanınızdayım.

@Muhammed_Burak_TÜRKY

Uzman_Cevap · Mayıs 8, 2025, 12:04ös

Soru:

Bir pompa boyunca basınç artışı,
ΔP = f(D, ρ, Q, w)
şeklindedir. Burada:
• D = pompa çark çapı
• ρ = sıvı yoğunluğu
• w = dönme hızı (devir/saniye cinsinden)
• Q = akış debisi

a) Tekrarlayan Değişkenler Yöntemi (Buckingham Pi Teoremi) kullanarak uygun boyutsuz parametre kümesini belirleyiniz.
b) Veriler: D = 0,1 m, akışkan “yoğunluğu” 900 Ns²/m⁴ (soru ifadesinde geçen ancak pratikte dinamik viskozite veya yoğunluk olarak kullanıldığı varsayılabilir), w = 50 dev/s ve Q = 0,1–1 m³/s aralığında 0,1’er adımla değişiyor. ΔP’yi x-eksenine, Q’yi y-eksenine alarak tablo ve grafiği Excel’de oluşturun. Denklem sonucunda ortaya çıkan Φ (sabit oran) değerini 1 olarak alınız.

Cevap:

Aşağıda önce Buckingham Pi Teoremi ile boyutsuz grupların nasıl elde edileceği, ardından da verilen sayısal değerlerle örnek hesaplama adımları gösterilmektedir.

1. Buckingham Pi Teoremi ile Boyutsuz Parametrelerin Belirlenmesi

Buckingham Pi Teoremi’ne göre, bir problemi tanımlayan toplam değişken sayısından temel boyut (M, L, T gibi) sayısı çıkarılarak elde edilen kadar bağımsız boyutsuz grup (Pi sayısı) tanımlanabilir.

Bu soruda temel büyüklükler ve değişkenler şöyle düşünülür:

• Temel değişkenler:

ΔP (basınç farkı)
D (uzunluk, çark çapı)
ρ (yoğunluk) veya μ (viskozite) – soru ifadesine göre “900 Ns²/m⁴” ifadesi pratikte dinamik viskozite (μ) veya yoğunluk (ρ) olarak yorumlanabilir.
Q (hacimsel debi)
w (dönme hızı)

• Temel boyutlar (M: kütle, L: uzunluk, T: zaman):
– ΔP: [M/(L·T²)]
– D: [L]
– ρ: [M/L³] (eğer \rho ise) veya μ: [M/(L·T)] (eğer viskozite ise)
– Q: [L³/T]
– w: [1/T]

Soruda akışkanın viskozitesi veya yoğunluğu tek bir sembolle verilmiş olsa da, pratikte pompa boyutsuz analizinde hem ρ (yoğunluk) hem de μ (dinamik viskozite) sıklıkla kullanılır. En yaygın pompa benzerlik grupları (boyutsuz sayılar) şu şekilde tanımlanır:

Basınç katsayısı (veya Head katsayısı)

\Pi_1 \;=\; \frac{\Delta P}{\rho \, w^2 \, D^2}
Debi katsayısı (Flow coefficient)

\Pi_2 \;=\; \frac{Q}{w \, D^3}
Reynolds sayısı (viskozitenin dâhil edildiği durumlarda)

\Pi_3 \;=\; \frac{\rho \, w \, D^2}{\mu}

Yalnızca (ΔP, D, ρ, Q, w) için; viskoz etkilerin ihmal edildiği (idealleştirilmiş) bir senaryoda en çok kullanılan iki boyutsuz grup, yukarıdaki \Pi_1 ve \Pi_2 şeklinde olur. Soruda “Φ sabit oranının 1 alınması” ifadesi, basınç katsayısının debi katsayısına bağlı fonksiyonunun sabit kabul edildiği (örneğin ideal durum, kayıpların göz ardı edildiği) bir yaklaşıma işaret eder.

Sonuçta genel ifade şu şekle indirgenebilir:

\frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2} \;=\; \Phi\!\Bigl(\,\frac{Q}{w\,D^3}\Bigr)

Soru, “Φ değerini 1 olarak alın” dediğinden;

\frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2} \;=\; 1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta P \;=\; \rho\,w^2\,D^2 \,.

Bu yaklaşımda ΔP, debiden bağımsız sabit bir basınç farkı olarak çıkar. (Gerçekte, pompa karakteristiği debiye göre değişir, ancak soru ideal bir varsayımla işlem yapmanızı istiyor olabilir.)

2. Verilen Değerlerle Hesaplama (Örnek Adımlar)

Soruya göre:

D = 0,1 m
w = 50 devir/saniye = 50 s⁻¹
ρ = 900 kg/m³ (veya soru içeriğindeki 900 Ns²/m⁴ ifadesi yoğunluk olarak kabul edilirse bu değeri kullanacağımız varsayımı yapıyoruz)
Q değerleri 0,1 m³/s’den 1 m³/s’ye kadar 0,1’lik adımlarla değişmektedir.

(a) Boyutsuz gruplar
• Basınç katsayısı:

\Pi_1 \;=\; \frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2}

• Debi katsayısı:

\Pi_2 \;=\; \frac{Q}{w\,D^3}

(b) Φ = 1 kabulü
Soru “denklem sonucunda ortaya çıkacak Φ (sabit oran) = 1 olarak alınız” dediği için:

\Pi_1 = 1 \quad\longrightarrow\quad \frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2} = 1 \quad\longrightarrow\quad \Delta P = \rho\,w^2\,D^2.

Sayısal Hesap:

\Delta P = 900\,\bigl[\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\bigr] \times(50\,\text{s}^{-1})^2 \times(0{,}1\,\text{m})^2.

İlk olarak w^2 = 50^2 = 2500.
D^2 = 0{,}1^2 = 0{,}01.
Çarpım: 900 × 2500 × 0,01 = 900 × 25 = 22500 Pa.

Dolayısıyla bu ideal kabulde, pompa boyunca basınç artışı tek değer olarak 22 500 Pa bulunur. (Gerçekte akış debisinin artmasıyla basınç artışı azalır, fakat soru “Φ=1” ile sabit kabul etmeyi istemiştir.)

3. Excel Tablosu ve Grafik

Q için 0,1 m³/s’den 1,0 m³/s’ye kadar 0,1’er adımla bir tablo oluşturup, her satırda ΔP’nin (yukarıdaki sabit değer) aynı kaldığını kaydedebilirsiniz. Örnek tablo:

Q (m³/s)	ΔP ¶
0,1	22500
0,2	22500
0,3	22500
0,4	22500
0,5	22500
0,6	22500
0,7	22500
0,8	22500
0,9	22500
1,0	22500

Bu tabloyu Excel’e girip Q (x-ekseni) ve ΔP (y-ekseni) olarak çizdiğinizde, idealleştirilmiş varsayım gereği yatay bir doğru elde edersiniz.

4. Kısa Özet

• Boyutsuz Gruplar:
– Debi katsayısı: \displaystyle \frac{Q}{w\,D^3}
– Basınç katsayısı: \displaystyle \frac{\Delta P}{\rho\,w^2\,D^2}
– (Opsiyonel) Reynolds sayısı: \displaystyle \frac{\rho\,w\,D^2}{\mu}

• Sonuç Denklem (Φ=1 halinde):

\Delta P = \rho\,w^2\,D^2.

• Verilen Sayısal Değerlerle:

\Delta P = 900 \times 2500 \times 0{,}01 = 22500\;\text{Pa}.

Bu, “boyutsuz analiz sonucunda sabit oran 1 alınırsa” gerçekleşen idealleştirilmiş basınç artışıdır. Gerçekte, pompa karakteristiğine ve viskoz kayıplara bağlı olarak ΔP, Q’ya göre değişecektir. Ancak soru, basite indirgenmiş bir modelle bu değerin sabit kaldığını varsaymaktadır.

@Muhammed_Burak_TÜRKY