Bir gönyenin iç kenarları 3, 4 ve 5 cm, dış kenarları 9, 12 ve 15 cm uzunluğunda olup iç kenarlardan her biri dış kenarlardan farklı birine paraleldir. Üç kişi bu gönyeyi bir kâğıdın üzerine istedikleri gibi sabitledikten sonra gönyenin birbirine paralel kenarları boyunca kalemlerini bir süre gezdirerek aşağıdaki çizimleri yapmıştır. Şekildeki sayılar cm türünden o çizimdeki doğruların arasındaki uzaklıktır.
Akin
Banu
Cüneyt
x
Akın çiziminde gönyenin hipotenüsünü kullandığına göre x en çok kaçtır?
A) \frac{13}{5}
B) \frac{14}{5}
C) \frac{10}{3}
D) \frac{11}{3}
E) \frac{13}{4}
Gönyede Paralel Kenarlar Arasındaki Uzaklık Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Dik Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Dik Kenar}_1 \times \text{Dik Kenar}_2}{2}
- Yamuğun Alanı: \text{Alan} = \frac{a + c}{2} \cdot h (a ve c tabanlar, h yükseklik/paralel kenarlar arası uzaklık)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dış ve İç Üçgenlerin Alanlarını Bulma
Gönyenin dışındaki büyük üçgen ile içindeki boşluk üçgeni birer dik üçgendir (3-4-5 ve 9-12-15 özel üçgenleri).
- Dış üçgenin alanı:
\text{Alan}_{\text{dış}} = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54\text{ cm}^2
- İç üçgenin alanı:
\text{Alan}_{\text{iç}} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2
- Gönyenin (iç ve dış üçgen arasındaki çerçevenin) toplam alanı:
\text{Alan}_{\text{çerçeve}} = 54 - 6 = 48\text{ cm}^2
Adım 2 — Çerçeve Alanını Yamuk Alanları Cinsinden Yazma
İç kenarlar dış kenarlara paralel olduğundan, karşılıklı köşeler birleştirildiğinde gönye çerçevesi 3 adet yamuğa bölünür. Her bir yamuğun yüksekliği, ilgili paralel kenarlar arasındaki mesafedir (d_{\text{hipotenüs}}, d_{12-4}, d_{9-3}):
- Hipotenüsler arasındaki yamuk (15\text{ cm} ve 5\text{ cm}):
\text{Alan}_1 = \frac{15 + 5}{2} \cdot d_h = 10 \cdot d_h
- 12\text{ cm} ve 4\text{ cm}'lik kenarlar arasındaki yamuk:
\text{Alan}_2 = \frac{12 + 4}{2} \cdot d_{12} = 8 \cdot d_{12}
- 9\text{ cm} ve 3\text{ cm}'lik kenarlar arasındaki yamuk:
\text{Alan}_3 = \frac{9 + 3}{2} \cdot d_9 = 6 \cdot d_9
Bu üç yamuğun alanları toplamı gönyenin çerçeve alanına eşittir:
10 d_h + 8 d_{12} + 6 d_9 = 48
Eşitliğin her iki tarafını 2’ye bölelim:
5 d_h + 4 d_{12} + 3 d_9 = 24
Adım 3 — Verilen Değerleri Yerine Koyma ve x’in En Büyük Değerini Bulma
Akın hipotenüsü kullandığı için d_h = 1\text{ cm}'dir:
5(1) + 4 d_{12} + 3 d_9 = 24 \implies 4 d_{12} + 3 d_9 = 19
Banu’nun çizdiği mesafe 2\text{ cm} olduğuna göre, Banu iki dik kenardan birini, Cüneyt ise diğer dik kenarı (x) kullanmıştır:
- Durum 1 (Banu 12\text{ cm}'lik kenarı kullandıysa, d_{12} = 2\text{ cm}):
4(2) + 3 d_9 = 19 \implies 8 + 3 d_9 = 19 \implies 3 d_9 = 11 \implies x = d_9 = \frac{11}{3}\text{ cm}
- Durum 2 (Banu 9\text{ cm}'lik kenarı kullandıysa, d_9 = 2\text{ cm}):
4 d_{12} + 3(2) = 19 \implies 4 d_{12} + 6 = 19 \implies 4 d_{12} = 13 \implies x = d_{12} = \frac{13}{4}\text{ cm}
Bizden x’in en çok değeri istendiği için:
\frac{11}{3} \approx 3{,}67 > \frac{13}{4} = 3{,}25 \implies x_{\max} = \frac{11}{3}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{11}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Alan Parçalama Prensibi: Birbirine paralel kenarlara sahip iç içe iki geometrik şeklin arasındaki bölge, paralel tabanlara sahip yamuklara bölünerek toplam alan korunumu üzerinden mesafe denklemleri kurulabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İç üçgenin dış üçgenin tam ağırlık merkezinde veya simetrik olduğunu varsayarak tüm mesafeleri eşit kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: Gönyenin iç boşluğunun konumunun değişken olabileceğini görüp alanların toplamı üzerinden bağıntı kurmak ve olası iki durumdan büyük olanı seçmek.
Benzer bir alan parçalama ve benzerlik sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?