Aile ve gizemli karanlık

YKS TYT
, ,
1

image
image720×960 46.9 KB

2

Aile ve Gizemli Karanlık: Fonksiyon Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Fonksiyon grafiği bir zaman-su miktarı ilişkisini gösteriyor.
  • a, b, c, d, e, f noktaları grafikte su miktarı ve zaman değerlerini temsil ediyor.
  • Fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri grafik üzerinden belirlenebilir.
  • Fonksiyonun artan, azalan ve sabit olduğu aralıklar zamana bağlı olarak analiz edilir.
  • Fonksiyonun aldığı en büyük ve en küçük değer farkı hesaplanabilir.

Başlangıçta depoda 800 litre su vardır. 0-15 dakika arasında dakikada 24 litre su boşalmaktadır, ardından musluk kapatılmış ve 15-35 dakika arasında sabit su seviyesi vardır. 35-53 dakika arasında ise dakikada 40 litre su dolmaktadır. Grafikten ve verilenlerden hareketle aşağıdaki sorular cevaplanabilir.

İçindekiler

  1. a, b, c, d, e, f Değerleri
  2. Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümeleri
  3. Fonksiyonun Artan, Azalan ve Sabit Olduğu Aralıklar
  4. Fonksiyonun Değerleri Arasındaki Fark

1. a, b, c, d, e ve f Değerleri Bulma

Grafikte zaman (dk) x-ekseninde, su miktarı (litre) y-eksenindedir.

  • Başlangıçta: su miktarı 800 litre (a = 800)

  • 0-15 dk arası dakikada 24 litre su boşalmaktadır:

    Boşaltılan su miktarı = 24 litre/dk × 15 dk = 360 litre

    1. dakikada musluk kapatılmış ve su miktarı sabit kalmıştır:

    b = a - 360 = 800 - 360 = 440 litre

  • 15-35 dakika arası su miktarı sabittir, yani c = b = 440 litre

  • 35-53 dakika arası dakikada 40 litre su dolmaktadır:

    Süre = 53 - 35 = 18 dk
    Doldurulan su = 40 × 18 = 720 litre

    1. dakikadaki su miktarı:

    f = c + 720 = 440 + 720 = 1160 litre

  • d ve e zaman noktaları grafikte yer almaktadır:

    d = 15 (musluk kapanma zamanı)
    e = 35 (musluk açılma zamanı)

Sonuçlar:

Nokta Açıklama Değer
a Başlangıç su miktarı 800 litre
b 15. dakikadaki su miktarı 440 litre
c Sabit su miktarı 15-35 dk 440 litre
d Musluğun kapanma zamanı 15 dk
e Musluğun açılma zamanı 35 dk
f 53. dakikadaki su miktarı 1160 litre

:light_bulb: Pro Tip: Grafikte sabit çizgi yataydır, azalan çizgi negatif eğimlidir, artan çizgi ise pozitif eğimlidir.

2. f Fonksiyonunun Tanım ve Görüntü Kümeleri

  • Tanım kümesi (domain): Fonksiyonun tanımlı olduğu x (zaman) değerleri:

    D(f) = [0, 53] \quad \text{dakika}

  • Görüntü kümesi (range): Fonksiyonun aldığı y (su miktarı) değerleri:

    En küçük değer: 440 litre
    En büyük değer: 1160 litre

    R(f) = [440, 1160] \quad \text{litre}

3. Fonksiyonun Artan, Azalan ve Sabit Olduğu Aralıklar

Fonksiyonun farklı davranış göstermesi, musluğun açılıp kapanma durumuna bağlıdır:

  • Azalan aralık: 0 ile 15 dakika arasında dakikada 24 litre su boşaldığı için,

    f \text{ azalan} \quad \text{[0, 15]}

  • Sabit aralık: 15 ile 35 dakika arasında musluk kapalı olduğundan,

    f \text{ sabit} \quad \text{[15, 35]}

  • Artan aralık: 35 ile 53 dakika arasında dakikada 40 litre su dolduğu için,

    f \text{ artan} \quad \text{[35, 53]}

4. Fonksiyonun En Büyük ve En Küçük Değer Farkı

  • En büyük değer: f = 1160 litre
  • En küçük değer: b = c = 440 litre

Fark:

\Delta = 1160 - 440 = 720 \quad \text{litre}

Özet Tablo

Öğe Değer
a (başlangıç su miktarı) 800 litre
b (15. dakika su miktarı) 440 litre
c (sabit su miktarı) 440 litre
d (musluk kapanma zamanı) 15 dakika
e (musluk açılma zamanı) 35 dakika
f (53. dakika su miktarı) 1160 litre
Tanım kümesi [0, 53] dakika
Görüntü kümesi [440, 1160] litre
Azalan aralık [0, 15] dakika
Sabit aralık [15, 35] dakika
Artan aralık [35, 53] dakika
Değer farkı 720 litre

Sık Sorulan Sorular

1. f fonksiyonunun tanımı nedir?
Tanımı, fonksiyonun tanımlı olduğu ve değer alabildiği tüm x (zaman) değerlerinin kümesidir. Bu durumda fonksiyon 0 ile 53 dakika arasında tanımlıdır.

2. Fonksiyonun grafiği neden 3 farklı bölüme ayrılmıştır?
Çünkü musluk önce açık ve su boşaltılıyor, sonra kapalı su sabit kalıyor, sonra tekrar açılarak su dolduruluyor. Bu durum fonksiyonun artan, azalan ve sabit olmasına yol açar.

3. Fonksiyonun değeri neden 440 litreye sabit kalmıştır?
15-35 dakika arasında musluk kapatıldığı için hiçbir su boşalmıyor veya dolmuyor ve su miktarı sabit kalıyor.

Sonraki Adımlar

Fonksiyonun grafik yorumlaması üzerine daha fazla örnek çözümler ister misiniz? Yoksa fonksiyonların tanım/görüntü kümeleri hakkında detaylı kuramsal açıklamalara mı odaklanalım?

@Eylul_Ertugrul

3

Başlangıçtaki 800 L’lik depo grafiğine göre: a–d şıklarını çözünüz

• Başlangıçta 800 L su var;
• 0–15 dk arasında dakikada 24 L boşaltma;
• 15–35 dk arasında su sabit;
• 35–53 dk arasında dakikada 40 L ilave.

Kısa Cevap:
a = 800, b = 440, c = 1160, d = 15, e = 35, f = 53
Tanım kümesi: [0, 53], Görüntü kümesi: [440, 1160]
Azalan: [0, 15], Sabit: [15, 35], Artan: [35, 53]
Maks–min farkı: 720

İçindekiler

  1. a, b, c, d, e ve f Değerleri
  2. Tanım ve Görüntü Kümeleri
  3. Artan, Azalan, Sabit Aralıklar
  4. En Büyük ve En Küçük Değer Farkı

1. a, b, c, d, e ve f Değerleri

  • a: Başlangıç miktarı = 800 L.
  • d: Boşaltmanın sürdüğü süre = 15 dk.
  • b: 15 dk sonra kalan su = 800 − 15·24 = 440 L.
  • e: Musluğun kapatılmasından sonra bekleme süresi = 20 dk ⇒ e = 15 + 20 = 35 dk.
  • f: Son doldurma süresi = 18 dk ⇒ f = 35 + 18 = 53 dk.
  • c: 35–53 dk arasında eklenen su = 440 + 18·40 = 1160 L.

2. Tanım ve Görüntü Kümeleri

  • Tanım kümesi (domain): [0,\,53] (zaman 0 ile 53 dk arası).
  • Görüntü kümesi (range): [440,\,1160] (su miktarı en az 440 L, en çok 1160 L).

3. Artan, Azalan, Sabit Aralıklar

  • Azalan aralık: [0,\,15] (dakikada 24 L boşalıyor).
  • Sabit aralık: [15,\,35] (musluk kapalı).
  • Artan aralık: [35,\,53] (dakikada 40 L ekleme).

4. En Büyük ve En Küçük Değer Farkı

En büyük değer = 1160 L, en küçük değer = 440 L
Fark = 1160 − 440 = 720 L

Bu parçalı tanımlı fonksiyonun her aralık için formülünü çıkarmak ister misiniz?