Ahmet, Burak ve Can okçuluk sporuyla ilgilenmektedir. Bir antrenmanda isabetli atış sayılarının ikişer ikişer toplamları bir aritmetik dizinin ardışık üç terimini oluşturmaktadır. Bu terimlerin ilki Ahmet ile Burak’ın, sonuncusu Ahmet ile Can’ın atış sırasıyla elde edilmektedir.
Buna göre, bu üç kişinin isabetli atış sayılarının bir aritmetik dizi oluşturması için atış sayılarının sıralaması aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Ahmet - Burak - Can
B) Burak - Can - Ahmet
C) Can - Burak - Ahmet
D) Ahmet - Can - Burak
E) Can - Ahmet - Burak
Aritmetik Dizi Özellikleri ile Terimler Arası İlişki Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir aritmetik dizide ardışık üç terim x, y, z ise ortanca terim, uçtaki terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir; yani 2y = x + z (veya y - x = z - y) bağıntısı geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İkişerli Toplamları Tanımlama ve Diziyi Kurma
Ahmet, Burak ve Can’ın isabetli atış sayıları sırasıyla A, B ve C olsun. Üç kişinin atış sayılarının ikişerli toplamları A+B, B+C ve A+C olmak üzere üç tanedir. Soruda bu terimlerin ilkinin Ahmet ile Burak’ın toplamı (A+B), sonuncusunun ise Ahmet ile Can’ın toplamı (A+C) olduğu belirtildiğinden, ortanca terim zorunlu olarak Burak ile Can’ın toplamı (B+C) olur:
(T_1, T_2, T_3) = (A+B, \; B+C, \; A+C)
Adım 2 — Aritmetik Dizi Bağıntısını Uygulama
Ardışık terimler arasındaki farklar eşit olmalıdır (T_2 - T_1 = T_3 - T_2):
(B + C) - (A + B) = (A + C) - (B + C)
C - A = A - B
2A = B + C \iff A = \frac{B + C}{2}
Adım 3 — Atış Sayılarının Sıralamasını Belirleme
2A = B + C eşitliği, Ahmet’in atış sayısının (A), Burak (B) ile Can’ın (C) atış sayılarının aritmetik ortalaması olduğunu gösterir. Dolayısıyla A, B ile C’nin tam ortasında yer almalıdır. Bu sayıların aritmetik dizi oluşturabilmesi için sıralama:
- Burak - Ahmet - Can ya da
- Can - Ahmet - Burak
şeklinde olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde bu koşulu sağlayan sıralama Can - Ahmet - Burak olarak verilmiştir.
CEVAP: E) Can - Ahmet - Burak
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İkişerli toplamların oluşturduğu dizide T_1 + T_3 = 2T_2 bağıntısı yazıldığında A’ların toplamı ile diğer değişkenler sadeleşir ve doğrudan ortadaki kişinin tekil atış sayısının diğer ikisinin ortalaması olduğu (2A = B+C) pratikçe görülür. Sıralamada ortanca terim kesinlikle Ahmet olmalıdır.