Ağırlıkça %20’si şeker olan su-şeker karışımının \frac{1}{4}'ü dökülerek yerine dökülen miktarın \frac{3}{2}'si kadar su ekleniyor.
Buna göre, elde edilen yeni karışımın yüzde kaçı şekerdir?
A) \frac{40}{3}
B) \frac{130}{3}
C) 45
D) \frac{140}{3}
E) 50
Ağırlıkça %20’si Şeker Olan Karışımın Yeni Şeker Yüzdesinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
\text{Şeker Yüzdesi} = \frac{\text{Toplam Şeker Miktarı}}{\text{Toplam Karışım Miktarı}} \times 100
Bir karışımdan bir miktar döküldüğünde, kalan karışımın içindeki madde oranları (yüzdeleri) değişmez. Ancak sadece saf su eklendiğinde toplam karışım miktarı artar, şeker miktarı sabit kalır ve dolayısıyla şeker yüzdesi azalır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
İşlemleri kolaylaştırmak için başlangıçtaki toplam karışım miktarını 100\text{ gram} alalım.
Adım 1 — Başlangıçtaki Şeker ve Su Miktarlarını Belirleme
- Toplam karışım: 100\text{ gram}
- Şeker miktarı: 100 \times \frac{20}{100} = 20\text{ gram}
- Su miktarı: 100 - 20 = 80\text{ gram}
Adım 2 — Dökülen ve Kalan Miktarları Hesaplama
Karışımın \frac{1}{4}'ü dökülüyor:
- Dökülen karışım miktarı: 100 \times \frac{1}{4} = 25\text{ gram}
- Kalan karışım miktarı: 100 - 25 = 75\text{ gram}
Kalan karışımdaki şeker miktarı:
\text{Kalan Şeker} = 20 \times \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 20 \times \frac{3}{4} = 15\text{ gram}
Adım 3 — Eklenen Su Miktarını ve Yeni Toplam Karışımı Bulma
Dökülen miktarın (25\text{ gram}) \frac{3}{2}'si kadar su ekleniyor:
\text{Eklenen Su} = 25 \times \frac{3}{2} = 37{,}5\text{ gram}
Yeni toplam karışım miktarı:
\text{Yeni Toplam Karışım} = \text{Kalan Karışım} + \text{Eklenen Su}
\text{Yeni Toplam Karışım} = 75 + 37{,}5 = 112{,}5\text{ gram}
Adım 4 — Yeni Karışımın Şeker Yüzdesini Hesaplama
Eklenen madde yalnızca su olduğu için karışımdaki şeker miktarı 15\text{ gram} olarak kalır.
\text{Yeni Şeker Yüzdesi} = \frac{15}{112{,}5} \times 100
Kesirli ifadeyi sadeleştirelim:
\frac{15}{\frac{225}{2}} \times 100 = \frac{30}{225} \times 100 = \frac{2}{15} \times 100 = \frac{200}{15} = \frac{40}{3}\%
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı \mathbf{\frac{40}{3}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Karışımın Bir Kısmının Dökülmesi
- Tanım: Homojen karışımlardan ne kadar dökülürse dökülsün, kalan karışımın yüzde bileşimi ilk karışımla aynı kalır.
- Bu problemde: Karışımın \frac{1}{4}'ü döküldüğünde, kalan $75\text{ gram}lık kısmın da ağırlıkça %20$'si şekerdir (75 \times 0{,}20 = 15\text{ gram}).
2. Saf Madde Eklenmesi
- Tanım: Bir karışıma yalnızca çözücü (su) eklendiğinde, çözünen madde (şeker) miktarı değişmez fakat toplam hacim/kütle artar.
- Bu problemde: 37{,}5\text{ gram} su eklendiğinde şeker miktarı $15\text{ gram}$da sabit kalmış, toplam ağırlık $112{,}5\text{ gram}$a yükselmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dökülen miktardan sonra saf su eklenmesini doğrudan ilk karışımla toplamak
- Yanlış: İlk $100\text{ gram}$a doğrudan 37{,}5\text{ gram} ekleyip toplamı 137{,}5\text{ gram} almak.
- Doğru: Karışımın önce \frac{1}{4}'ü döküldüğü için geriye kalan 75\text{ gram} üzerine ekleme yapılmalıdır (75 + 37{,}5 = 112{,}5\text{ gram}).
- Neden yanlış: Karışımdan dökülen kısım sistemden eksilmiştir; hesaba tekrar dahil edilemez.
Bu tip karışım problemlerinde farklı oranlar verilerek sorulan benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?